En mathématiques, les polynômes d'Askey-Wilson (ou q -polynômes de Wilsonpolynômes orthogonaux . Ils ont été introduits par Richard Askey et James A. Wilson en 1985[ 1] q-analogues d'une autre famille de polynômes orthogonaux, les polynômes de Wilson (en)
La famille des polynômes d'Askey-Wilson comprend de nombreux autres polynômes orthogonaux comme cas particuliers, soit en une variable, soit comme cas limite, dans le cadre décrit par le schéma d'Askey (en) polynômes de Macdonald (ou des polynômes de Koornwinder ) pour certains systèmes affines de racines (en)
Les polynômes d'Askey-Wilson sont définis par :
p n ( x ; a , b , c , d ∣ q ) = ( a b , a c , a d ; q ) n a − n 4 ϕ 3 [ q − n a b c d q n − 1 a e i θ a e − i θ a b a c a d ; q , q ] {\displaystyle p_{n}(x;a,b,c,d\mid q)=(ab,ac,ad;q)_{n}a^{-n}\;_{4}\phi _{3}\left[{\begin{matrix}q^{-n}&abcdq^{n-1}&a{\rm {e}}^{{\rm {i}}\theta }&a{\rm {e}}^{-{\rm {i}}\theta }\\ab&ac&ad\end{matrix}};q,q\right]} où ϕ {\displaystyle \phi } fonction hypergéométrique de base (en) x = cos ( θ ) {\displaystyle x=\cos(\theta )} ( ⋅ , ⋅ , ⋅ , ⋅ ) n {\displaystyle (\cdot ,\cdot ,\cdot ,\cdot )_{n}} q-symbole de Pochhammer étendu par la formule ( a 1 , a 2 , … , a r ; q ) n := ( a 1 ; q ) n ( a 2 ; q ) n … ( a r ; q ) n {\displaystyle (a_{1},a_{2},\ldots ,a_{r};q)_{n}:=(a_{1};q)_{n}(a_{2};q)_{n}\ldots (a_{r};q)_{n}} n en x = cos θ {\displaystyle x=\cos \theta }
Les polynômes p n ( x ; a , b , c , d ∣ q ) {\displaystyle p_{n}(x;a,b,c,d\mid q)} a , b , c , d {\displaystyle a,b,c,d} x = ( a + a − 1 ) / 2 {\displaystyle x=(a+a^{-1})/2}
p n ( ( a + a − 1 ) / 2 ; a , b , c , d ∣ q ) = ( a b , a c , a d ; q ) n a − n {\displaystyle p_{n}((a+a^{-1})/2;a,b,c,d\mid q)=(ab,ac,ad;q)_{n}a^{-n}} et de même x ( b + b − 1 ) / 2 , ( c + c − 1 ) / 2 {\displaystyle x(b+b^{-1})/2,(c+c^{-1})/2} ( d + d − 1 ) / 2 {\displaystyle (d+d^{-1})/2} m , n {\displaystyle m,n}
p n ( ( a − 1 q − m + a q m ) / 2 ; a , b , c , d ∣ q ) p n ( ( a − 1 + a ) / 2 ; a , b , c , d ∣ q ) = p m ( ( a ˇ − 1 q − n + a ˇ q n ) / 2 ; a ˇ , b ˇ , c ˇ , d ˇ ∣ q ) p m ( ( a ˇ − 1 + a ˇ ) / 2 ; a ˇ , b ˇ , c ˇ , d ˇ ∣ q ) {\displaystyle {\frac {p_{n}((a^{-1}q^{-m}+aq^{m})/2;a,b,c,d\mid q)}{p_{n}((a^{-1}+a)/2;a,b,c,d\mid q)}}={\frac {p_{m}(({\check {a}}^{-1}q^{-n}+{\check {a}}q^{n})/2;{\check {a}},{\check {b}},{\check {c}},{\check {d}}\mid q)}{p_{m}(({\check {a}}^{-1}+{\check {a}})/2;{\check {a}},{\check {b}},{\check {c}},{\check {d}}\mid q)}}} pour a = q − 1 / 2 ( a ˇ b ˇ c ˇ d ˇ ) 1 / 2 {\displaystyle a=q^{-1/2}({\check {a}}{\check {b}}{\check {c}}{\check {d}})^{1/2}} a b = a ˇ b ˇ {\displaystyle ab={\check {a}}{\check {b}}} a c = a ˇ c ˇ {\displaystyle ac={\check {a}}{\check {c}}} a d = a ˇ d ˇ {\displaystyle ad={\check {a}}{\check {d}}}
Pour 0 < q < 1 {\displaystyle 0<q<1} a , b , c , d {\displaystyle a,b,c,d} | a | , | b | , | c | , | d | < 1 {\displaystyle |a|,|b|,|c|,|d|<1}
∫ − 1 1 p n ( x ) p m ( x ) w ( x ) d x = h n δ n , m , {\displaystyle \int _{-1}^{1}p_{n}(x)p_{m}(x)w(x)\,{\rm {d}}x=h_{n}\,\delta _{n,m},} avec
h 0 := ( a b c d ; q ) ∞ ( q , a b , a c , a d , b c , b d , c d ; q ) ∞ , h n h 0 := 1 − a b c d q n − 1 1 − a b c d q 2 n − 1 ( q , a b , a c , a d , b c , b d , c d ; q ) n ( a b c d ; q ) n . {\displaystyle h_{0}:={\frac {(abcd;q)_{\infty }}{(q,ab,ac,ad,bc,bd,cd;q)_{\infty }}}\,,\quad {\frac {h_{n}}{h_{0}}}:={\frac {1-abcdq^{n-1}}{1-abcdq^{2n-1}}}\,{\frac {(q,ab,ac,ad,bc,bd,cd;q)_{n}}{(abcd;q)_{n}}}.} Pour des valeurs plus générales des paramètres, il existe une relation sous forme d'une intégrale de contour. Le cas particulier de l’équation pour n = m = 0 {\displaystyle n=m=0} intégrale d'Askey-Wilson .
Par la spécialisation de certains paramètres, on retrouve d'autres familles de polynômes orthogonaux (comme ci-dessus, x = cos θ {\displaystyle x=\cos \theta }
Polynômes de Al-Salam-Chihara : Q n ( x ; a , b ∣ q ) := p n ( x ; a , b , 0 , 0 ∣ q ) {\displaystyle Q_{n}(x;a,b\mid q):=p_{n}(x;a,b,0,0\mid q)} Polynômes de q -Jacobi continus : P n ( α , β ) ( x ; q ) ∝ p n ( x ; q 1 2 , q α + 1 2 , − q β + 1 2 , − q 1 2 ∣ q ) ∝ p n ( x ; q α + 1 2 , q α + 3 2 , − q β + 1 2 , − q β + 3 2 ∣ q 2 ) {\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x;q)\propto \,p_{n}(x;q^{\frac {1}{2}},q^{\alpha +{\frac {1}{2}}},-q^{\beta +{\frac {1}{2}}},-q^{\frac {1}{2}}\mid q)\propto \,p_{n}(x;q^{\alpha +{\frac {1}{2}}},q^{\alpha +{\frac {3}{2}}},-q^{\beta +{\frac {1}{2}}},-q^{\beta +{\frac {3}{2}}}\mid q^{2})} Polynômes q -ultrasphériques continus : C n ( x ; β ∣ q ) := ( β ; q ) n ( q ; q ) n p n ( x ; β 1 2 , β 1 2 q 1 2 , − β 1 2 , − β 1 2 q 1 2 ∣ q ) = ∑ k = 0 n ( β ; q ) k ( β ; q ) n − k ( q ; q ) k ( q ; q ) n − k e i ( n − 2 k ) θ {\displaystyle C_{n}(x;\beta \mid q):={\frac {(\beta ;q)_{n}}{(q;q)_{n}}}\,p_{n}(x;\beta ^{\frac {1}{2}},\beta ^{\frac {1}{2}}q^{\frac {1}{2}},-\beta ^{\frac {1}{2}},-\beta ^{\frac {1}{2}}q^{\frac {1}{2}}\mid q)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {(\beta ;q)_{k}(\beta ;q)_{n-k}}{(q;q)_{k}(q;q)_{n-k}}}\,{\rm {e}}^{{\rm {i}}(n-2k)\theta }} Polynômes de q -Hermite continus : H n ( x ∣ q ) := ( q ; q ) n C n ( x ; 0 ∣ q ) = ∑ k = 0 n ( q ; q ) n ( q ; q ) k ( q ; q ) n − k e i ( n − 2 k ) θ {\displaystyle H_{n}(x\mid q):=(q;q)_{n}\,C_{n}(x;0\mid q)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {(q;q)_{n}}{(q;q)_{k}(q;q)_{n-k}}}\,{\rm {e}}^{{\rm {i}}(n-2k)\theta }} p n ( x ; 1 , − 1 , q 1 2 , − q 1 2 ∣ q ) ∝ cos n θ , p n ( x ; q , − q , q 1 2 , − q 1 2 ∣ q ) ∝ sin ( n + 1 ) θ sin θ {\displaystyle p_{n}(x;1,-1,q^{\frac {1}{2}},-q^{\frac {1}{2}}\mid q)\propto \,\cos n\theta ,\quad p_{n}(x;q,-q,q^{\frac {1}{2}},-q^{\frac {1}{2}}\mid q)\propto \,{\frac {\sin(n+1)\theta }{\sin \theta }}} p n ( x ; q , − 1 , q 1 2 , − q 1 2 ∣ q ) ∝ sin ( n + 1 2 ) θ sin 1 2 θ , p n ( x ; 1 , − q , q 1 2 , − q 1 2 ∣ q ) ∝ cos ( n + 1 2 ) θ cos 1 2 θ {\displaystyle p_{n}(x;q,-1,q^{\frac {1}{2}},-q^{\frac {1}{2}}\mid q)\propto \,{\frac {\sin(n+{\frac {1}{2}})\theta }{\sin {\frac {1}{2}}\theta }}\,,\quad p_{n}(x;1,-q,q^{\frac {1}{2}},-q^{\frac {1}{2}}\mid q)\propto \,{\frac {\cos(n+{\frac {1}{2}})\theta }{\cos {\frac {1}{2}}\theta }}} W n ( y 2 ; a , b , c , d ) = lim q ↑ 1 ( 1 − q ) − 3 n p n ( 1 2 ( q i y + q − i y ) ; q a , q b , q c , q d ∣ q ) {\displaystyle W_{n}(y^{2};a,b,c,d)=\lim _{q\uparrow 1}(1-q)^{-3n}p_{n}({\tfrac {1}{2}}(q^{{\rm {i}}y}+q^{-{\rm {i}}y});q^{a},q^{b},q^{c},q^{d}\mid q)} P n ( α , β ) ( x ) = lim q ↑ 1 P n ( α , β ) ( x ; q ) {\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)=\lim _{q\uparrow 1}P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x;q)} Polynômes ultrasphériques : C n λ ( x ) = lim q ↑ 1 C n ( x ; q λ ∣ q ) {\displaystyle C_{n}^{\lambda }(x)=\lim _{q\uparrow 1}C_{n}(x;q^{\lambda }\mid q)} H n ( x ) = lim q ↑ 1 ( 1 − q ) − n / 2 H n ( ( 1 − q ) 1 / 2 x ∣ q 2 ) {\displaystyle H_{n}(x)=\lim _{q\uparrow 1}(1-q)^{-n/2}H_{n}((1-q)^{1/2}x\mid q^{2})} George Gasper et Mizan Rahman , Basic hypergeometric series , Cambridge University Press , coll. « Encyclopedia of Mathematics and its Applications » (no 96), 2004 , 2e éd. , 428 p. (ISBN 978-0-521-83357-8 MR 2128719 lire en ligne ) Tom H. Koornwinder, Roderick S. C. Wong, Roelof Koekoek et René F. Swarttouw, « Askey-Wilson class » , dans : Frank W. J. Olver, Daniel M. Lozier, Ronald F. Boisvert, Charles W. Clark (éditeurs), NIST Handbook of Mathematical Functions , Cambridge University Press (ISBN 978-0521192255 MR 2723248 Tom H. Koornwinder , « Askey-Wilson polynomial », Scholarpedia , vol. 7, no 7, 2012 , p. 7761 (DOI 10.4249/scholarpedia.7761 lire en ligne ) 
French
Deutsch![{\displaystyle p_{n}(x;a,b,c,d\mid q)=(ab,ac,ad;q)_{n}a^{-n}\;_{4}\phi _{3}\left[{\begin{matrix}q^{-n}&abcdq^{n-1}&a{\rm {e}}^{{\rm {i}}\theta }&a{\rm {e}}^{-{\rm {i}}\theta }\\ab&ac&ad\end{matrix}};q,q\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ebaebb8df8a2c2a3043f956b4cc2884740017f5c)
