En mathématiques, un polynôme associé de Legendre, noté , est une solution particulière de l'équation générale de Legendre[ref 1] :
laquelle n'a de solution régulière que sur l'intervalle [–1, 1] et si –ℓ ≤ m ≤ ℓ avec ℓ et m entiers. Elle se réduit à l'équation différentielle de Legendre si m = 0.
Cette fonction est un polynôme si m est un entier pair. Toutefois, l’appellation de « polynôme », bien qu'incorrecte, est quand même conservée dans le cas où m est un entier impair.
L'équation générale de Legendre apparaît naturellement dans la résolution de l'équation de Helmholtz tridimensionnelle en coordonnées sphériques (notées , avec , avec constant, en utilisant la méthode de séparation des variables. Plus précisément, elle correspond à la partie angulaire selon la colatitude de cette équation, et correspondants aux constantes de séparation.
En effet dans ce cas l'équation angulaire correspondante se met sous la forme :
Démonstration
En coordonnées sphériques, l'équation de Helmholtz s'écrit :
si maintenant une solution est recherchée par séparation des variables, alors , ce qui après substitution et division par :
Comme cette équation doit être vérifiée pour toutes les valeurs de , et que est une constante chacun des trois premiers termes doit être égal à une constante. Dès lors, si l'on pose :
Cette équation étant à variables séparées, chaque membre doit être égal à une même constante notée , et la partie angulaire selon se met donc bien sous la forme :
Les harmoniques sphériques interviennent notamment en physique quantique, où elles correspondent aux fonctions propres du moment cinétique orbital, c'est-à-dire celles communes aux opérateurs (carré du moment cinétique) et de sa composante , avec les équations aux valeurs propres :
et
.
En coordonnées sphériques ces opérateurs se mettent sous la forme :
Par suite, correspond à la partie angulaire du Laplacien[3], et de fait les équations aux valeurs propres sont identiques à celles que l'on obtient lors de la résolution de l'équation de Helmholtz. Dès lors les harmoniques sphériques sont proportionnelles à et , et après normalisation elles se mettent sous la forme :
↑Cette équation implique que l'on a de la forme , or comme nécessairement doit être univaluée sur l'intervalle il faut que m soit un entier relatif.
↑Le facteur est en fait un facteur de phase, dit de Condon-Shortley, omis par certains auteurs.
↑En coordonnées sphériques, il est dès lors facile de vérifier que le Laplacien se met sous la forme . Cette propriété est utilisée notamment dans l'étude quantique de l'atome d'hydrogène : le Laplacien intervenant dans le terme d'énergie cinétique et le potentiel étant invariant par symétrie sphérique, le hamiltonien du système commute alors avec et . L'équation de Schrödinger pour l'électron peut ainsi être résolue par séparation des variables et la solution est donnée comme le produit d'une fonction radiale et d'une harmonique sphérique .