Série de Lambert — Wikipédia
En mathématiques, une série de Lambert, nommée ainsi en l'honneur du mathématicien Jean-Henri Lambert, est une série génératrice prenant la forme
Elle peut être resommée formellement en développant le dénominateur :
où les coefficients de la nouvelle série sont donnés par la convolution de Dirichlet de (an) avec la fonction constante 1(n) = 1 :
Exemples
[modifier | modifier le code]La série de Lambert de certaines fonctions multiplicatives se calcule facilement ; par exemple :
- la série de Lambert de la fonction de Möbius μ est la série génératrice ordinaire de μ ✻ 1 = δ1 :
; - celle de 1 est la série ordinaire de la fonction 1 ✻ 1 = σ0 = d (nombre de diviseurs) :
; - plus généralement, celle de la fonction puissance Ida(n) = na (où a est un nombre complexe) est la série ordinaire de la fonction Ida ✻ 1 = σa (somme des puissances a-ièmes des diviseurs) :
; - de même, celle de la fonction totient de Jordan est la série ordinaire de la fonction puissance : . En particulier,
- la série de Lambert de l'indicatrice d'Euler φ = J1 est :
Les séries de Lambert dans lesquelles les an sont des fonctions trigonométriques, par exemple, an = sin(2nx), peuvent être évaluées en utilisant diverses combinaisons des dérivées logarithmiques des fonctions thêta de Jacobi.
Voir aussi
[modifier | modifier le code]Articles connexes
[modifier | modifier le code]- Constante d'Erdős-Borwein
- Série de Lambert pour la fonction de Liouville
- Séries de Fourier des séries d'Eisenstein
- Fonction zêta de Riemann et ses valeurs aux points entiers
- Une utilisation des séries de Lambert pour démontrer un théorème de Jacobi
Bibliographie
[modifier | modifier le code](la) Leonhard Euler, « Consideratio quarumdam serierum, quae singularibus proprietatibus sunt praeditae », Novi Commentarii Academiae Scientiarum Petropolitanae, vol. 3, , p. 86-108 (lire en ligne)