Deuxième théorème de Minkowski — Wikipédia
Le deuxième théorème de Minkowski est un résultat de géométrie des nombres sur les minima successifs d'un réseau, relativement à un convexe.
Minima successifs
[modifier | modifier le code]Dans ℝn, soient Γ un réseau et K un convexe compact symétrique par rapport à l'origine et de volume non nul. Les n minima successifs λ1 ≤ λ2 ≤ … ≤ λn de Γ relativement à K sont définis par : λj est le plus petit réel λ pour lequel λK (la boule fermée de centre 0 et de rayon λ pour la norme égale à la jauge de K) contient j vecteurs de Γ linéairement indépendants.
- Exemples
- Par un changement de variables linéaire, on peut toujours se ramener au cas où le réseau Γ est ℤn. Alors, vol(ℝn/Γ) = 1 et :
Énoncé du théorème
[modifier | modifier le code]La preuve de la première inégalité est « presque triviale[2] ». Certains auteurs[3] ne mentionnent que la seconde sous l'intitulé « Deuxième théorème de Minkowski ». Cette dernière renforce « le » (premier) théorème de Minkowski, selon lequel λ1n vol(K) ≤ 2n vol(ℝn/Γ).
Démonstration
[modifier | modifier le code]La démonstration par Hermann Minkowski de la majoration, en 1896[4], « a longtemps été considérée comme assez obscure[5] », et de nombreuses preuves alternatives ont été publiées[6],[7],[8],[9],[10],[11],[12], jusqu'à ce que Martin Henk, en 2002[13], en résumant la preuve originale de Minkowski, montre qu'elle était « parfaitement correcte et élégante[5] ».
Notes et références
[modifier | modifier le code]- Lagarias 1995, p. 930 ; Cassels 1957, p. 156 ; Cassels 1971, p. 203 et 218 ; Schmidt 1996, p. 6.
- Cassels 1971, p. 203 ; Cassels 1957, p. 156.
- Nathanson 1996, p. 181 et Siegel 1989, p. 32.
- (de) H. Minkowski, Geometrie der Zahlen, (1re éd. 1896) (lire en ligne), p. 199-219.
- Gruber 2007, p. 376.
- (en) Harold Davenport, « Minkowski's inequality for the minima associated with a convex body », Q. J. Math., vol. 10, , p. 119-121 (DOI 10.1093/qmath/os-10.1.119).
- (en) Hermann Weyl, « On geometry of numbers », Proc. London Math. Soc., 2e série, vol. 47, , p. 268-289 (DOI 10.1112/plms/s2-47.1.268), repris dans Cassels 1971, p. 215-218.
- (en) Theodor Estermann, « Note on a theorem of Minkowski », J. London Math. Soc., vol. 21, , p. 179-182.
- (en) R. P. Bambah (en), Alan Woods et Hans Zassenhaus, « Three proofs of Minkowski's second inequality in the geometry of numbers », J. Austral. Math. Soc., vol. 5, no 4, , p. 453-462 (DOI 10.1017/S1446788700028482).
- (en) I. Danicic, « An elementary proof of Minkowski's second inequality », J. Austral. Math. Soc., vol. 10, , p. 177-181 (DOI 10.1017/S1446788700007023).
- Gruber et Lekkerkerker 1987, p. 59-62.
- Siegel 1989, p. 39-40.
- (en) Martin Henk, « Successive Minima and Lattice Points », Rendi. Circ. Matematico Palermo, 2e série, vol. 70, , p. 377-384 (arXiv math/0204158) (p. 382-384), repris dans Gruber 2007, p. 377-380.
Bibliographie
[modifier | modifier le code]- (en) John W. S. Cassels, An Introduction to Diophantine Approximation, CUP, (lire en ligne)
- (en) John W. S. Cassels, An Introduction to the Geometry of Numbers, Springer, (1re éd. 1959) (lire en ligne), chap. VIII (« Successive minima »)
- (en) Peter M. Gruber (en), Convex and Discrete Geometry, coll. « Grund. math. Wiss. » (no 336), (lire en ligne)
- (en) Peter M. Gruber et Cornelis G. Lekkerkerker, Geometry of Numbers, North-Holland, , 2e éd. (1re éd. 1969, 510 p.), 731 p. (lire en ligne)
- (en) Jeffrey C. Lagarias, chap. 19 « Point Lattices », dans R. L. Graham, M. Grötschel et L. Lovász, Handbook of Combinatorics, vol. I, Elsevier, (lire en ligne), p. 919-966 (p. 465-489 du .pdf)
- (en) Melvyn B. Nathanson, Additive Number Theory: Inverse Problems and the Geometry of Sumsets, coll. « GTM » (no 165), (lire en ligne), p. 180-185
- (en) Wolfgang M. Schmidt, Diophantine Approximations and Diophantine Equations, coll. « Lecture Notes in Mathematics » (no 1467), , 2e éd. (lire en ligne)
- (en) Carl Ludwig Siegel, Lectures on the Geometry of Numbers, Springer, , 160 p. (lire en ligne) (notes rédigées par Komaravolu Chandrasekharan)