En mathématiques, le symbole de Levi-Civita, noté ε (lettre grecque epsilon), est un objet antisymétrique d'ordre 3 qui peut être exprimé à partir du symbole de Kronecker :
Visualisation d'un symbole de Levi-Civita en 3 dimensions (i d'avant en arrière, j de haut en bas et k de gauche à droite).
.
Ainsi,
ne peut prendre que trois valeurs : –1, 0 ou 1.
En dimension 3, on peut figurer le symbole de Levi-Civita comme suit :
![{\displaystyle \varepsilon _{ijk}={\begin{cases}+1&{\mbox{si }}(i,j,k){\mbox{ est }}(1,2,3),(2,3,1){\mbox{ ou }}(3,1,2),\\-1&{\mbox{si }}(i,j,k){\mbox{ est }}(3,2,1),(1,3,2){\mbox{ ou }}(2,1,3),\\0&{\mbox{si }}i=j{\mbox{ ou }}j=k{\mbox{ ou }}k=i.\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8285b0b3596e0d3f93ffedc35122c9f0bea01128)
On remarque que si
,
et
, alors
représente une permutation et le symbole de Levi-Civita correspondant est sa signature.
La relation du symbole Levi-Civita au symbole de Kronecker est :
![{\displaystyle \varepsilon _{ijk}\varepsilon _{lmn}=\delta _{il}\delta _{jm}\delta _{kn}+\delta _{im}\delta _{jn}\delta _{kl}+\delta _{in}\delta _{jl}\delta _{km}-\delta _{il}\delta _{jn}\delta _{km}-\delta _{in}\delta _{jm}\delta _{kl}-\delta _{im}\delta _{jl}\delta _{kn}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2353d3c44dc408690643a3aeb4dd3610bca1d3a)
![{\displaystyle \sum _{i=1}^{3}\varepsilon _{ijk}\varepsilon _{imn}=\delta _{jm}\delta _{kn}-\delta _{jn}\delta _{km}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e19d7782236c042cf847d11be2e7d1142738671)
![{\displaystyle \sum _{i,j=1}^{3}\varepsilon _{ijk}\varepsilon _{ijn}=2\delta _{kn}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55395b563573355680927e7e65ba7b8b3167a7cb)
En dimension 2, le symbole de Levi-Civita est défini par :
![{\displaystyle \varepsilon _{ij}={\begin{cases}+1&{\text{si }}(i,j)=(1,2)\\-1&{\text{si }}(i,j)=(2,1)\\\;\;\,0&{\text{si }}i=j\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92327cd7c13bc086688ab05d38b73f90914ae7c6)
On peut disposer ces valeurs dans une matrice carrée 2×2 comme suit :
![{\displaystyle {\begin{pmatrix}\varepsilon _{11}&\varepsilon _{12}\\\varepsilon _{21}&\varepsilon _{22}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d71a29ba9609b6b42b24748f3c19c9a7df9a884)
dont le déterminant vaut 1. De même, les valeurs du symbole de Kronecker peuvent être vues comme les éléments de la matrice-identité
![{\displaystyle {\begin{pmatrix}\delta _{11}&\delta _{12}\\\delta _{21}&\delta _{22}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1141d4ac2c56decc2edb508ace28f70565b2d43)
En dimension n, on peut démontrer que
![{\displaystyle \sum _{i_{1},\dots ,i_{n}=1}^{n}\left(\varepsilon _{i_{1}\dots i_{n}}\right)^{2}=n!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ccd073302e1b011d670a11173c15b3e8f01a08c6)
Démonstration
S'il existe deux indices égaux, c'est-à-dire s'il existe
tels que
, alors on obtient
(le déterminant est nul car il y a égalité des lignes j et k).
Ainsi
Finalement
.
Dans une base orthonormée directe
,
représente le volume orienté du parallélépipède construit à partir des vecteurs
.
D'où une valeur égale à 0 si i = j ou j = k ou k = i.