Théorème d'approximation de Dirichlet — Wikipédia
Le théorème d'approximation de Dirichlet est le résultat d'approximation diophantienne simultanée de d réels suivant :
Pour tout réel N ≥ 1, il existe un entier q tel que
,
dont le cas particulier N = Qd avec Q entier[1] se démontre par le principe des tiroirs de Dirichlet[2], ou le résultat suivant[3],[4] (plus général[5]) :
Pour tout réel M > 1, il existe un entier q tel que
,
qui utilise un théorème de Minkowski ou de Blichfeldt.
Utilisations
[modifier | modifier le code]Ce théorème est appliqué notamment en théorie des nombres (approximations diophantiennes, théorie des séries de Dirichlet) et dans la théorie des fonctions presque périodiques.
Un corollaire élémentaire du cas d = 1 est que la mesure d'irrationalité de tout irrationnel est supérieure ou égale à 2.
Le théorème est aussi lié à la conjecture du coureur solitaire[6].
Références
[modifier | modifier le code]- Seul le corollaire suivant est énoncé sous cet intitulé dans (en) E. C. Titchmarsh, The Theory of the Riemann Zeta-Function, Clarendon Press, (lire en ligne), chap. VIII : pour tous réels a1, a2, … , ad, tout entier Q > 0 et tout réel t0 > 0, il existe un réel t tel que t0 ≤ t ≤ t0Qd et .
- G. H. Hardy et E. M. Wright (trad. de l'anglais par F. Sauvageot), Introduction à la théorie des nombres [« An Introduction to the Theory of Numbers »], Vuibert-Springer, , p. 216-217, th. 200.
- Uné généralisation est démontrée dans (en) Wolfgang M. Schmidt, Diophantine Approximation, Springer, (lire en ligne), p. 28-32.
- (en) Thomas W. Cusick, « Dirichlet's diophantine approximation theorem », Bulletin of the Australian Mathematical Society, vol. 16, no 2, , p. 219-224 (DOI 10.1017/S0004972700023224, lire en ligne), ne l'énonce que pour M entier.
- Le premier énoncé se déduit du second en prenant .
- (en) Terence Tao, « A remark on the lonely runner conjecture », sur terrytao.wordpress.com, .