En géométrie riemannienne, le théorème de Bonnet-Schoenberg-Myers (de) montre comment des contraintes locales sur une métrique riemannienne imposent des conditions globales sur la géométrie de la variété. Sa démonstration repose sur une utilisation classique de la formule de la variation seconde.
Démonstrations
- Raisonnons par l'absurde. Soient p et q deux points de M avec
. Soit une géodésique ![{\displaystyle \gamma :[0,L]\rightarrow M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbf09948c0c512ecf24250e1093d74d412faeeb4)
d'origine 
et d'extrémité 
. Prenons 
un vecteur dans 
, orthogonal à 
. Introduisons le champ de vecteurs parallèle 
le long de 
d'origine 
. Posons : ![{\displaystyle Y(t)=\sin \left[{\frac {\pi t}{L}}\right].Z(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae9ebaf7965ae47315cc8d8857167ce165ba4855)
- Un calcul élémentaire donne :
![{\displaystyle Y'(t)={\frac {\pi }{L}}\cos \left[{\frac {\pi t}{L}}\right]Z(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a79ead15346653a611736a3daca97e77738c4788)
- Soit
une variation de courbes ![{\displaystyle [0,L]\rightarrow M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96380706cf9fe5da4b3173fd1f56cb4a0945c6fa)
d'origine 
et d'extrémité 
avec 
et 
. La formule de la variation seconde, appliquée au champ de vecteurs 
, donne alors : ![{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}longc_{s}}{\partial s^{2}}}=\int _{0}^{L}\left[{\frac {\pi ^{2}}{L^{2}}}\cos ^{2}\left[{\frac {\pi t}{L}}\right]-k(\gamma '(t),Y(t))\sin ^{2}\left[{\frac {\pi t}{L}}\right]\right]dt\leq {\frac {\pi ^{2}-\delta L^{2}}{2L}}<0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4cf7f1099a9cf244eae97e87c1d6c8b3215e51a)
- Ceci est absurde lorsque est la géodésique minimisante dont l'existence est garantie par l'hypothèse de complétude de la variété riemannienne.
Le cas d'égalité a été étudié (Shiu-Yuen Cheng, 1975) :
- Sous les notations précédentes, si le diamètre de
est égal à 
, alors 
est isométrique à la sphère euclidienne de rayon 
.
Myers a amélioré en 1941 le théorème de Bonnet en démontrant le même résultat sous l'hypothèse plus faible que la courbure de Ricci est minorée par 
, où 
est la dimension de la variété.
Le théorème de Bonnet-Myers a le corollaire suivant :
- Le groupe fondamental d'une variété riemannienne compacte de courbure strictement positive est fini.
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