Théorème de van Aubel — Wikipédia
Il existe deux théorèmes de van Aubel. L'un décrit certaines relations entre les centres de quatre carrés construits sur les quatre côtés d'un quadrilatère convexe. Ce théorème a été publié par Henricus Hubertus van Aubel en 1878[1],[2].
L'autre est relatif aux rapports de longueurs découpées par des céviennes concourantes d'un triangle.
Théorème de van Aubel dans un quadrilatère[modifier | modifier le code]
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b5/Aubel_tetragon.svg/220px-Aubel_tetragon.svg.png)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/de/Van-Aubel-theorem_combined.svg/220px-Van-Aubel-theorem_combined.svg.png)
Dans un quadrilatère convexe, on trace, à l'extérieur du quadrilatère 4 carrés s'appuyant sur les côtés de celui-ci. Le théorème stipule que les segments [PR] et [QS], qui joignent les centres des carrés opposés, sont orthogonaux et de même longueur, autrement dit que le quadrilatère PQRS est un pseudo-carré : diagonales orthogonales de même longueur.
Le théorème de Thébault permet de dire que le quadrilatère de départ est un parallélogramme si et seulement si le pseudo-carré PQRS est un vrai carré.
Notons que les centres des carrés peuvent être aussi construits comme sommets de quatre triangles isocèles rectangles d'angles de base de mesure 45° à l'extérieur du quadrilatère.
Il existe plusieurs démonstrations[3] possibles de ce théorème.
- l'une utilise les nombres complexes et consiste à écrire les affixes des points P, Q, R et S en fonction des affixes a, b, c et d des points A, B, C et D[4].
- une autre consiste à travailler sur des rotations vectorielles[5]
- une troisième enfin consiste à utiliser le théorème de Neuberg et le fait que les points Q et S sont les images des points P et R par une rotation de centre I milieu de [BD] et d'angle droit[6].
La propriété se généralise à tout quadrilatère ABCD, même croisé, à condition que les carrés ABEF, BCGH, CDJK et DALM soient de même orientation.
Théorème de Van Aubel dans un triangle[modifier | modifier le code]
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3a/Aubel_triangle.svg/220px-Aubel_triangle.svg.png)
Dans un triangle (ABC), on considère un point P intérieur au triangle et on note A', B' et C' les pieds des céviennes issues de A, B et C et passant par P. Le théorème de van Aubel stipule que[7],[8]
Une démonstration possible de ce théorème consiste à remarquer des égalités entre rapports d'aire et rapports de longueur. Ainsi
Une autre démonstration, utilisant les barycentres, permet de généraliser la propriété à tout point P du plan non situé sur le triangle et tel que les droites (PA), (PB) et (PC) rencontrent (BC), (CA) et (AB) respectivement en A', B' et C' . Le point P est alors le barycentre des points A, B et C affectés de trois réels a, b et c tels que a, b, c, a + b, b + c , c + a et a + b +c sont tous non nuls. Alors B' est barycentre de A et C affectés des coefficients a et c, C' est barycentre de A et B affectés des coefficients a et b et P est barycentre de A et A' affectés des coefficients a et b+c. Les relations entre mesures algébriques et coefficients des barycentres permettent d'écrire que
Ce qui conduit à l'égalité :
Voir aussi[modifier | modifier le code]
Le théorème de Napoléon, concernant les centres des triangles équilatéraux construits autour d'un triangle.
Notes et références[modifier | modifier le code]
- H. H. van Aubel, « Note concernant les centres de carrés construits sur les côtés d'un polygone quelconque », Nouvelle Correspondance Mathématique, vol. 4, 1878, p. 40-44.
- David Wells, Le dictionnaire Penguin des curiosités géométriques, Eyrolles, , p. 14
- (en) Yutaka Nishiyama (en), « Beautiful theorems of geometry as van Aubel's theorem », .
- Sujet du bac S 2005 métropole, Exercice 2 de spécialité.
- P. Debart, Carrés autour d'un triangle.
- Voir par exemple la démonstration pas à pas d'Antonio Gutierrez (en).
- (en) Eric W. Weisstein, « Van Aubel's Theorem », sur MathWorld.
- Mohammed AASSILA, 1000 challenges mathématiques, géométrie, Ellipses, , p. 27