Théorème de Monge — Wikipédia
En analyse mathématique, le théorème de Monge sert à étudier le comportement d'une fonction de deux variables au voisinage d'un point critique.
Énoncé
[modifier | modifier le code]Soit une fonction à deux variables et . Soit un point critique . On a en ce point les dérivées premières :
On pose pour les dérivées secondes :
Les notations sont appelées « notations de Monge ».
Le calcul du déterminant permet de distinguer les cas suivants :
- si le point critique est un extrémum local :
- si , c'est un minimum ;
- si , c'est un maximum ;
- si , on a un point selle – ou point col ;
- si , on ne peut rien conclure et il faut mener une étude locale.
Exemples
[modifier | modifier le code]- Coniques
Pour un paraboloïde , le seul point critique est en . On a :
C'est donc un minimum (global).
Pour un hyperboloïde , le seul point critique est aussi en . On a :
C'est donc un point-selle.
- Surface cubique
Pour , on a deux points critiques en et , mais :
Il faut donc mener une étude locale de la fonction pour conclure.
Notes et références
[modifier | modifier le code]- Olivier Rodot et Jean-Étienne Rombaldi, Formulaire de maths : Licence, Prépas, Capes, De Boeck Supérieur, , 448 p. (ISBN 9782807341425, lire en ligne), p. 214.
- Jean-Pierre Ramis, André Warusfel, François Moulin, Xavier Buff, Emmanuel Halberstadt, Jacques Sauloy et Monique Ramis, Mathématiques : Tout-en-un pour la Licence 2, Dunod, , 4e éd., 1104 p. (ISBN 9782100859474, lire en ligne), p. 821-822.
- Bernard Joppin, Analyse MP, Éditions Bréal, coll. « Les nouveaux précis Bréal » (ISBN 9782749522739, lire en ligne), p. 468.