3-varietà

In geometria, una 3-varietà è una varietà differenziabile di dimensione 3. Informalmente, si tratta di un "possibile universo": uno spazio con 3 dimensioni che è localmente simile allo spazio tridimensionale come è percepito dall'essere umano, la cui struttura globale può però essere molto differente e di difficile intuizione.

Lo studio delle 3-varietà è un ramo importante della topologia della dimensione bassa. Ha forti connessioni con la teoria dei nodi e la geometria iperbolica. Gli strumenti usati nello studio delle 3-varietà sono molteplici: tra questi, il gruppo fondamentale (che cattura gran parte della struttura della varietà), lo studio delle superfici (in particolare le superfici incompressibili) e la geometria iperbolica.

Una 3-varietà è una varietà differenziabile oppure topologica di dimensione 3. L'aggettivo "topologica" o "differenziabile" è usato, quando necessario, per specificare di quale varietà si tratta; in verità, la differenza fra le due nozioni in dimensione 3 è minima: una varietà differenziabile è anche topologica (questo è valido in tutte le dimensioni), e viceversa ogni varietà topologica può essere dotata di un'unica struttura differenziabile a meno di diffeomorfismo (questo è valido solo in dimensione 2 e 3). Per questo motivo, l'aggettivo è generalmente omesso.

Analogamente, una 3-varietà con bordo è una varietà con bordo di dimensione 3. Spesso anche una 3-varietà con bordo è chiamata semplicemente 3-varietà.

Lo spazio euclideo ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ è una 3-varietà. Ogni sottoinsieme aperto dello spazio euclideo è anch'esso una 3-varietà. Ad esempio, la palla

${\displaystyle B^{3}=\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}:x^{2}+y^{2}+z^{2}<1\}}$

oppure il complementare di un nodo.

Lo spazio tridimensionale contiene anche molte 3-varietà con bordo. Ad esempio, il disco chiuso

${\displaystyle D^{3}=\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}:x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 1\}}$

il cui bordo è la sfera bidimensionale

${\displaystyle S^{2}=\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}:x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\}}$

oppure il toro solido, il cui bordo è il toro. Più in generale, un corpo con manici, il cui bordo è una superficie orientabile di genere arbitrario.

Lo spazio euclideo non contiene però varietà chiuse, cioè compatte e senza bordo.

La 3-varietà più semplice che non sia contenuta nello spazio euclideo è la sfera tridimensionale (a volte chiamata ipersfera)

${\displaystyle S^{3}={\big \{}(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})\in \mathbb {R} ^{4}\ |\ x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}=1{\big \}}.}$

Si tratta di una 3-varietà chiusa semplicemente connessa.

Gli spazi lenticolari sono le 3-varietà chiuse aventi gruppo fondamentale più semplice. Lo spazio lenticolare ${\displaystyle L(p,q)}$ è una 3-varietà definita come spazio quoziente di ${\displaystyle S^{3}}$ tramite un'azione del gruppo ciclico ${\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$. Lo spazio è definito per ogni coppia di interi coprimi ${\displaystyle (p,q)}$. Si tratta di una varietà chiusa, il cui gruppo fondamentale è ${\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$.

Per ${\displaystyle p=1}$ la 3-varietà è la sfera ${\displaystyle S^{3}}$, mentre per ${\displaystyle p=2}$ si tratta dello spazio proiettivo reale tridimensionale ${\displaystyle \mathbb {P} ^{3}(\mathbb {R} )}$.

Un'altra 3-varietà che generalizza varietà di dimensione inferiore è il toro tridimensionale

${\displaystyle S^{1}\times S^{1}\times S^{1}.}$

Il suo gruppo fondamentale è ${\displaystyle \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} }$. Più in generale, il prodotto di una superficie con la circonferenza ${\displaystyle S^{1}}$ è una 3-varietà con gruppo fondamentale infinito.

Una superficie può essere agevolmente visualizzata tramite un disegno, e se è orientabile può essere descritta interamente all'interno dello spazio tridimensionale. Inoltre è descritta a meno di omeomorfismo semplicemente dal suo genere.

Descrivere e visualizzare una 3-varietà è più difficile. Non esiste una semplice generalizzazione della nozione di genere, che possa classificarle agevolmente. Esistono quindi varie tecniche per costruire e descrivere completamente una 3-varietà.

Ogni 3-varietà compatta ammette una triangolazione. Può quindi essere descritta in modo combinatorio, da una lista di dati che descrivono i tetraedri e i modi in cui le facce triangolari di questi sono identificate a coppie. Questa descrizione combinatoria è stata usata a partire dagli anni ottanta in vari programmi al computer.

Un link in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ (più precisamente, in ${\displaystyle S^{3}}$), in cui ogni componente ha un numero razionale assegnato, descrive una 3-varietà. Questa è la varietà ottenuta tramite chirurgia di Dehn effettuata sul link: la chirurgia consiste nel rimuovere attorno ad ogni componente del link un toro solido, ottenuto "ingrassando" lievemente la componente (il toro solido è un piccolo intorno tubolare di questa), e rincollare il toro solido lungo una mappa differente. La scelta della mappa dipende dal numero razionale.

Ogni 3-varietà è ottenibile incollando due corpi con manici ${\displaystyle H_{1}}$ e ${\displaystyle H_{2}}$ aventi lo stesso genere lungo il bordo, tramite un omeomorfismo

${\displaystyle \psi \colon \partial H_{1}\to \partial H_{2}.}$

Questa costruzione è detta decomposizione di Heegaard. La decomposizione può essere descritta disegnando ${\displaystyle H_{1}}$ e specificando sul suo bordo alcune curve che bordano un disco all'interno di ${\displaystyle H_{2}}$.

Per il teorema di uniformizzazione di Riemann, ogni superficie ammette una struttura di varietà riemanniana completa con curvatura sezionale costante +1, 0 o -1. Ogni superficie ha quindi una struttura di varietà ellittica, piatta o iperbolica completa.

Una analoga uniformizzazione esiste anche per le 3-varietà: congetturata da William Thurston all'inizio degli anni ottanta, è stata dimostrata da Grigori Perelman nel 2002. La geometrizzazione di Thurston asserisce che ogni 3-varietà si decompone lungo sfere e tori in pezzi che ammettono una metrica omogenea. La decomposizione lungo sfere e tori, nota già negli anni settanta, consiste nel teorema di Kneser-Milnor per la somma connessa (le sfere) e nella decomposizione JSJ (i tori).

Lo stesso argomento in dettaglio: Teorema di Kneser-Milnor.

La decomposizione lungo sfere è enunciata dal teorema di Kneser-Milnor. Il teorema asserisce che il comportamento delle 3-varietà rispetto all'operazione di somma connessa è simile al comportamento dei numeri interi rispetto al prodotto: si tratta in effetti dell'analogo del teorema fondamentale dell'algebra.

Il teorema asserisce che ogni 3-varietà orientabile e chiusa ${\displaystyle M}$ ammette un'unica scrittura come somma connessa

${\displaystyle M=M_{1}\#\ldots \#M_{k}}$

di varietà ${\displaystyle M_{i}}$ prime, cioè varietà che non si scrivono a loro volta come somma connessa non banale.

Lo stesso argomento in dettaglio: Decomposizione JSJ.

La decomposizione lungo tori è nota con il nome di decomposizione JSJ, dal nome dei matematici Jaco, Shalen e Johannson che l'hanno descritta negli anni 70. Ogni 3-varietà prima contiene un insieme di tori incompressibili disgiunti ${\displaystyle T_{1},\ldots ,T_{h}}$, con la proprietà che

1. ogni altro toro incompressibile è disgiunto da questi dopo una opportuna isotopia,
2. L'insieme è massimale rispetto alla proprietà 1.

Lo stesso argomento in dettaglio: Congettura di geometrizzazione di Thurston.

I tori della decomposizione JSJ separano una varietà prima ${\displaystyle M}$ in tanti blocchi. Ciascun blocco è una varietà compatta, il cui bordo è unione di tori disgiunti. La congettura di geometrizzazione di Thurston asserisce che la parte interna di ciascuno di questi blocchi ammette una metrica riemanniana omogenea. Esistono in dimensione tre 8 tipi metriche riemanniane di questo tipo: 3 di queste sono la geometrie ellittica, piatta e iperbolica.

Lo stesso argomento in dettaglio: Congettura di Poincaré.

La congettura di Poincaré è un caso particolare della congettura di Thurston, ed è quindi stata dimostrata anch'essa da Perelman nel 2002. La congettura asserisce che ${\displaystyle S^{3}}$ è l'unica 3-varietà chiusa semplicemente connessa.

Le 3-varietà chiuse ellittiche sono precisamente tutte le 3-varietà con gruppo fondamentale finito. Tra queste, la sfera, lo spazio proiettivo, e più generalmente ogni spazio lenticolare. Più in generale, una tale varietà è ottenuta come quoziente di ${\displaystyle S^{3}}$ tramite un gruppo di isometrie di ${\displaystyle S^{3}}$ che agisce in modo libero e propriamente discontinuo. Il gruppo delle isometrie di ${\displaystyle S^{3}}$ è il gruppo ortogonale speciale ${\displaystyle SO(4)}$, e tutti i suoi sottogruppi di questo tipo sono stati classificati da John Milnor negli anni sessanta.

Lo studio delle 3-varietà iperboliche, emerso con i lavori di Thurston a partire dalla fine anni settanta, è considerato di gran lunga più interessante fra i matematici. Fra le 8 geometrie omogenee, quella iperbolica si mostra infatti come la più ricca. Mentre le varietà della altre 7 geometrie sono già state classificate dagli anni cinquanta, non esiste ancora una classificazione soddisfacente delle varietà iperboliche.

Una 3-varietà iperbolica è ottenuta come quoziente dello spazio iperbolico ${\displaystyle \mathbb {H} ^{3}}$ tramite un gruppo di isometrie che agisce in modo libero e propriamente discontinuo. Il gruppo delle isometrie che preservano l'orientazione di ${\displaystyle \mathbb {H} ^{3}}$ è isomorfo al gruppo delle trasformazioni di Möbius, un gruppo importante in analisi complessa e geometria proiettiva.

La varietà ${\displaystyle S^{1}\times S^{1}\times S^{1}}$ ammette (come ogni prodotto di un numero arbitrario di circonferenze) una struttura di varietà piatta; è ottenuta quozientando lo spazio euclideo ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ tramite il gruppo di isometrie dato dalle traslazioni intere sui tre assi.

La varietà ${\displaystyle \Sigma \times S^{1}}$ ottenuta come prodotto di una superficie ${\displaystyle \Sigma }$ di genere maggiore di uno e di una circonferenza ammette una delle 5 metriche omogenee rimanenti.

• William Jaco, Lectures on 3-manifold topology, ISBN 0-8218-1693-4.
• William Thurston, Three-dimensional geometry and topology. Vol. 1, Princeton Mathematical Series, n. 35, Princeton University Press, 1997, ISBN 0-691-08304-5.

• Topologia della dimensione bassa
• Forma dell'universo

• Wikimedia Commons contiene immagini o altri file sulla 3-varietà

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