Circocentro

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circocentro
Codice ETC	3
Coniugato isogonale	ortocentro
Complementare	centro del cerchio dei nove punti
Anticomplementare	ortocentro
Coordinate baricentriche
λ1	sen2A
λ2	sen2B
λ3	sen2C
Coordinate trilineari
x	cosA
y	cosB
z	cosC
Manuale

In geometria, il circocentro è il centro del cerchio circoscritto di un triangolo (detto circumcerchio), o più in generale di un poligono. Si può dimostrare che esso è il punto di incontro degli assi dei lati del triangolo.

La sua posizione dipende dal tipo di triangolo:

• in un triangolo acutangolo è interno al contorno
• in un triangolo rettangolo corrisponde al punto medio dell'ipotenusa, ovvero si trova sul contorno
• in un triangolo ottusangolo è esterno al contorno.

Il circocentro è equidistante dai vertici del triangolo, ed è il centro della circonferenza circoscritta, da cui il nome del punto.

Fa parte della retta di Eulero, ed è il coniugato isogonale dell'ortocentro.

Denotiamo con ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle C}$ i tre vertici del triangolo e con ${\displaystyle P}$ il circocentro. Denotiamo con ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$ le rette contenenti rispettivamente i segmenti ${\displaystyle AP}$, ${\displaystyle BP}$, ${\displaystyle CP}$. Denotiamo con ${\displaystyle A_{1}}$, ${\displaystyle B_{1}}$, ${\displaystyle C_{1}}$, le intersezioni di ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$ rispettivamente con le rette ${\displaystyle BC}$, ${\displaystyle AC}$, ${\displaystyle AB}$. Allora i punti ${\displaystyle A_{1}}$, ${\displaystyle B_{1}}$, ${\displaystyle C_{1}}$ e i punti medi dei lati giacciono tutti sulla medesima conica. In particolare essa sarà:

• un'ellisse per i triangoli acutangoli;
• un cerchio, il cerchio inscritto, nel triangolo equilatero (in questo caso ${\displaystyle A=A_{1}}$, ${\displaystyle B=B_{1}}$ e ${\displaystyle C=C_{1}}$);
• un'iperbole per i triangoli ottusangoli;
• due rette parallele, di cui una contenente l'ipotenusa, per i triangoli rettangoli.

• Circumcerchio
• Circumraggio
• Incentro
• Asse di un triangolo

• (EN) Eric W. Weisstein, Circocentro, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Clark Kimberling, X₃, in Encyclopedia of Triangle Centers, University of Evansville, 22 ottobre 2013.

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