Costante di Embree-Trefethen

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In matematica, e in particolare in teoria dei numeri, la costante Embree-Trefethen è un valore soglia per una particolare successione definita per ricorrenza, e si indica con β*.

Più precisamente, dato un numero reale β, si considera la successione ricorsiva

x_n+1 = x_n ± βx_n-1

dove il segno della somma è scelto a caso per ogni n indipendentemente e con probabilità uguale per "+" e "-".

Si dimostra che per ogni scelta di β, il limite

${\displaystyle \sigma (\beta )=\lim _{n\to \infty }(|x_{n}|^{1/n})}$

esiste quasi sicuramente. Informalmente, la successione si comporta esponenzialmente con probabilità 1, e σ(β) può essere interpretata come il suo tasso di crescita esponenziale.

Abbiamo:

σ < 1 per 0 < β < β* = 0,70258...,

perciò le soluzioni di questa successione ricorrente decadono esponenzialmente per n→∞ con probabilità uno, e

σ > 1 per β* < β,

perciò le soluzioni crescono esponenzialmente.

Considerando i valori di σ, abbiamo:

• σ(1)=1,13198824... (costante di Viswanath), e
• σ(β*)=1.

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