Costante di Eulero-Mascheroni

La costante di Eulero-Mascheroni è una costante matematica, usata principalmente nella teoria dei numeri e nell'analisi matematica. È definita come limite della differenza tra la serie armonica troncata e il logaritmo naturale:

${\displaystyle \gamma =\lim _{n\rightarrow \infty }\left(\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}-\int _{1}^{n}{\frac {1}{x}}dx\right)=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}-\ln n\right)=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(H_{n}-\ln n\right),}$

dove ${\displaystyle H_{n}}$ è l'ennesimo numero armonico. La sua valutazione approssimata è:

${\displaystyle \gamma \approx }$ 0,57721 56649 01532 86060 65120 90082 40243 10421 59335 93992 35988 05767 23488 48677 26777 66467 09369 47063 29174 67495...^[1]

Non è noto se ${\displaystyle \gamma }$ sia un numero razionale o meno. Tuttavia, se si suppone che ${\displaystyle \gamma }$ sia razionale, l'analisi in frazioni continue dimostra che il suo denominatore ha più di 10²⁴²⁰⁸⁰ cifre.^[2]

Le costanti di Stieltjes sono una generalizzazione di tale costante.

La costante può essere definita in più modi attraverso gli integrali:

${\displaystyle \gamma =\int _{1}^{\infty }\left({1 \over \lfloor x\rfloor }-{1 \over x}\right)\,dx}$

dove le parentesi ${\displaystyle \lfloor \cdot \rfloor }$ indicano la funzione parte intera (floor)

${\displaystyle =-\int _{0}^{\infty }e^{-x}\ln x\,dx}$

${\displaystyle =-\int _{0}^{1}{\ln \ln \left({\frac {1}{x}}\right)}\,dx}$

${\displaystyle =\int _{0}^{\infty }{\left({\frac {1}{e^{x}-1}}-{\frac {1}{xe^{x}}}\right)}\,dx}$

${\displaystyle =\int _{0}^{1}{\left({\frac {1}{\ln x}}+{\frac {1}{1-x}}\right)}\,dx}$

${\displaystyle =\int _{0}^{\infty }{{\frac {1}{x}}\left({\frac {1}{1+x}}-e^{-x}\right)}\,dx}$

${\displaystyle =\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {x-1}{(1-x\,y)\ln(x\,y)}}\,dx\,dy}$

Altri integrali collegati con ${\displaystyle \gamma }$ sono:

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{e^{-x^{2}}\ln x}\,dx=-{\frac {1}{4}}(\gamma +2\ln 2){\sqrt {\pi }}}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{e^{-x}(\ln x)^{2}}\,dx=\gamma ^{2}+{\frac {\pi ^{2}}{6}}}$

La Costante di Eulero-Mascheroni si può esprimere tramite molte serie:

${\displaystyle \gamma =\sum _{k=1}^{\infty }\left[{\frac {1}{k}}-\ln \left(1+{\frac {1}{k}}\right)\right].}$

${\displaystyle =\sum _{m=2}^{\infty }{\frac {(-1)^{m}\zeta (m)}{m}}}$

${\displaystyle =\ln \left({\frac {4}{\pi }}\right)+\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{m-1}\zeta (m+1)}{2^{m}(m+1)}}}$

È notabile la serie trovata da Vacca nel 1910:

${\displaystyle \gamma =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\lfloor \log _{2}n\rfloor }{n}}(-1)^{n}}$

dove, nuovamente, le parentesi ${\displaystyle \lfloor \cdot \rfloor }$ indicano la funzione parte intera (floor).

Essa si generalizza in

${\displaystyle \gamma =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\log _{b}n}{n}}{\begin{cases}b-1&{\mbox{ se }}b\mid n\\-1&{\mbox{ se }}b\nmid n\end{cases}}}$

per ogni intero ${\displaystyle b\geq 2}$.

La Costante di Eulero-Mascheroni è collegata con molte funzioni speciali come la funzione zeta di Riemann, la funzione gamma e la funzione digamma.

${\displaystyle \gamma =\lim _{s\to 1^{+}}\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{n^{s}}}-{\frac {1}{s^{n}}}\right)=\lim _{s\to 1}\left(\zeta (s)-{\frac {1}{s-1}}\right)}$

${\displaystyle =-\psi (1)=\lim _{x\to \infty }\left(x-\Gamma \left({\frac {1}{x}}\right)\right)}$

La costante di Eulero-Mascheroni compare spesso in teoria dei numeri, ad esempio collegata ai numeri primi

${\displaystyle \gamma =\lim _{n\to \infty }\left(\ln n-\sum _{p\leq n}{\frac {\ln p}{p-1}}\right)}$

${\displaystyle \gamma =-\lim _{n\to \infty }\left[\ln \ln n+\sum _{p\leq n}\ln \left(1-{\frac {1}{p}}\right)\right],}$

noto come terzo teorema di Mertens. Nel problema dei divisori di Dirichlet

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}d(n)=n\ln n+(2\gamma -1)n+O({\sqrt {n}}).}$

Inoltre,

${\displaystyle \gamma =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {N_{1}(n)+N_{0}(n)}{2n(2n+1)}}}$

dove ${\displaystyle N_{1}(n)}$ e ${\displaystyle N_{0}(n)}$ sono rispettivamente il numero di 1 e di 0 nello sviluppo binario di ${\displaystyle n}$ (Sondow 2005).

• Havil, J., Gamma: Exploring Euler's Constant, Princeton, NJ: Princeton University Press, 2003.

• Funzione Gamma
• Funzione digamma
• Integrale esponenziale

• Wikimedia Commons contiene immagini o altri file su costante di Eulero-Mascheroni

• (EN) Eric W. Weisstein, Costante di Eulero-Mascheroni, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) costante di Eulero - Mascheroni in MathWorld, su mathworld.wolfram.com.

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