L'equazione dell'iperbole equilatera in figura è:
x 2 − y 2 = a 2 {\displaystyle x^{2}-y^{2}=a^{2}} quindi:
O C ¯ = x , P C ¯ = x 2 − a 2 , O A ¯ = a . {\displaystyle {\overline {OC}}=x,\qquad {\overline {PC}}={\sqrt {x^{2}-a^{2}}},\qquad {\overline {OA}}=a.} L'area del settore iperbolico O A P {\displaystyle OAP} O P C {\displaystyle OPC} A P {\displaystyle AP} x {\displaystyle x} P C . {\displaystyle PC.}
S = 1 2 x x 2 − a 2 − ∫ a x t 2 − a 2 d t = a 2 2 [ ln ( x + x 2 − a 2 ) − ln a ] = a 2 2 [ ln ( x a + ( x a ) 2 − 1 ) ] . {\displaystyle S={\frac {1}{2}}x{\sqrt {x^{2}-a^{2}}}-\int _{a}^{x}{\sqrt {t^{2}-a^{2}}}\,dt={\frac {a^{2}}{2}}\left[\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-a^{2}}}\right)-\ln a\right]={\frac {a^{2}}{2}}\left[\ln \left({\frac {x}{a}}+{\sqrt {\left({\frac {x}{a}}\right)^{2}-1}}\right)\right].} Posto 2 S a 2 = t {\displaystyle {\frac {2S}{a^{2}}}=t}
ln ( x a + ( x a ) 2 − 1 ) = t {\displaystyle \ln \left({\frac {x}{a}}+{\sqrt {\left({\frac {x}{a}}\right)^{2}-1}}\right)=t} x a + ( x a ) 2 − 1 = e t {\displaystyle {\frac {x}{a}}+{\sqrt {\left({\frac {x}{a}}\right)^{2}-1}}=e^{t}} ( x a ) 2 − 1 = ( e t − x a ) 2 {\displaystyle \left({\frac {x}{a}}\right)^{2}-1=\left(e^{t}-{\frac {x}{a}}\right)^{2}} 2 x a e t = e 2 t + 1 {\displaystyle 2{\frac {x}{a}}e^{t}=e^{2t}+1} x a = e t + e − t 2 . {\displaystyle {\frac {x}{a}}={\frac {e^{t}+e^{-t}}{2}}.} Quest'ultima relazione definisce il coseno iperbolico di t , {\displaystyle t,} cosh t {\displaystyle \cosh t}
cosh t = e t + e − t 2 . {\displaystyle \cosh t={\frac {e^{t}+e^{-t}}{2}}.} Si definisce inoltre il seno iperbolico:
sinh t = y a = x 2 − a 2 a = ( e t + e − t 2 ) 2 − 1 = ( e t − e − t 2 ) 2 = e t − e − t 2 . {\displaystyle \sinh t={\frac {y}{a}}={\frac {\sqrt {x^{2}-a^{2}}}{a}}={\sqrt {\left({\frac {e^{t}+e^{-t}}{2}}\right)^{2}-1}}={\sqrt {\left({\frac {e^{t}-e^{-t}}{2}}\right)^{2}}}={\frac {e^{t}-e^{-t}}{2}}.} L'argomento delle funzioni iperboliche è analogo a quello delle funzioni goniometriche se si considera che, nel caso della circonferenza , l'angolo, in radianti, è uguale al doppio dell'area del settore circolare diviso il raggio al quadrato:
θ = 2 S a 2 {\displaystyle \theta ={\frac {2S}{a^{2}}}} e
cos θ = x a , sin θ = y a . {\displaystyle \cos \theta ={\frac {x}{a}},\qquad \sin \theta ={\frac {y}{a}}.} 
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![{\displaystyle S={\frac {1}{2}}x{\sqrt {x^{2}-a^{2}}}-\int _{a}^{x}{\sqrt {t^{2}-a^{2}}}\,dt={\frac {a^{2}}{2}}\left[\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-a^{2}}}\right)-\ln a\right]={\frac {a^{2}}{2}}\left[\ln \left({\frac {x}{a}}+{\sqrt {\left({\frac {x}{a}}\right)^{2}-1}}\right)\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a7b24fa4af760be45de1029a8f7400cbc8ebad5)
