Nella pagina seguente vengono riportate tutte le dimostrazioni dei teoremi contenuti nell'articolo limite di una funzione , perciò per fare riferimento a eventuali applicazioni si prega di fare riferimento alla relativa pagina.
Sia:
lim x → x 0 f ( x ) = l 1 {\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)=l_{1}} e lim x → x 0 f ( x ) = l 2 {\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)=l_{2}} allora:
l 1 = l 2 {\displaystyle l_{1}=l_{2}} La dimostrazione del teorema procede per assurdo . Presi:
lim x → x 0 f ( x ) = l 1 {\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)=l_{1}} e lim x → x 0 f ( x ) = l 2 {\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)=l_{2}} con l 1 ≠ l 2 {\displaystyle l_{1}\neq l_{2}} , allora esistono due intorni V 1 {\displaystyle V_{1}} di l 1 {\displaystyle l_{1}} e V 2 {\displaystyle V_{2}} di l 2 {\displaystyle l_{2}} tali che siano disgiunti ( V 1 ∩ V 2 = ∅ {\displaystyle V_{1}\cap V_{2}=\emptyset } ). Per definizione devono esistere due intorni U 1 {\displaystyle U_{1}} e U 2 {\displaystyle U_{2}} di x 0 {\displaystyle x_{0}} per cui vale:
f ( x ) ∈ V 1 {\displaystyle f(x)\in V_{1}} se x ∈ U 1 {\displaystyle x\in U_{1}} f ( x ) ∈ V 2 {\displaystyle f(x)\in V_{2}} se x ∈ U 2 {\displaystyle x\in U_{2}} Dunque prendendo l'intorno di x 0 {\displaystyle x_{0}} costruito come U 1 ∩ U 2 {\displaystyle U_{1}\cap U_{2}} , dovrebbe succedere, contemporaneamente, che f ( x ) ∈ V 1 {\displaystyle f(x)\in V_{1}} e f ( x ) ∈ V 2 {\displaystyle f(x)\in V_{2}} , il che è assurdo. Da tali procedimenti si è arrivati a dire che, nonostante siano stati presi due intorni disgiunti dei limiti, l'intersezione tra gli intorni non è vuota, cioè praticamente non esistono intorni disgiunti dei limiti. Questo però, per la proprietà di separazione (o di Hausdorff), deve sempre accadere se i limiti sono distinti, in conclusione allora i limiti devono per forza essere uguali.
Se il limite della funzione risulta positivo allora anche la funzione è positiva.
Sia f {\displaystyle f} una funzione continua nel suo dominio, f : X ⊆ R → R {\displaystyle f:X\subseteq \mathbb {R} \to \mathbb {R} } e x 0 , l ∈ R ∗ {\displaystyle x_{0},l\in \mathbb {R} ^{*}} con x 0 {\displaystyle x_{0}} di accumulazione per X {\displaystyle X} , allora:
lim x → x 0 f ( x ) = l > 0 ( < 0 ) → f ( x ) > 0 ( < 0 ) per x → x 0 {\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)=l>0\,(<0)\to f(x)>0\,(<0){\mbox{ per }}x\to x_{0}} Infatti, si ponga l ∈ R , l > 0 {\displaystyle l\in \mathbb {R} ,\,l>0} . Preso l'intorno V = ( l − ε ; l + ε ) {\displaystyle V=(l-\varepsilon ;l+\varepsilon )} con 0 < ε < l {\displaystyle 0<\varepsilon <l} . Allora, per definizione di limite, esiste un intorno U {\displaystyle U} di x 0 {\displaystyle x_{0}} , per il quale:
f ( x ) ∈ V ∀ x ∈ U ∩ X ∖ { x 0 } {\displaystyle f(x)\in V\qquad \forall x\in U\cap X\backslash \left\{x_{0}\right\}} cioè:
l + ε > f ( x ) > l − ε > 0 {\displaystyle l+\varepsilon >f(x)>l-\varepsilon >0} È possibile eseguire la stessa dimostrazione per + ∞ {\displaystyle +\infty } e − ∞ {\displaystyle -\infty } .
Siano f , g , h : X ⊆ R → R {\displaystyle f,g,h:X\subseteq \mathbb {R} \to \mathbb {R} } , f , g , h ∈ C 0 ( X ; R ) {\displaystyle f,g,h\in C^{0}(X;\mathbb {R} )} , e x 0 {\displaystyle x_{0}} un punto di accumulazione per X {\displaystyle X} . Se:
lim x → x 0 f ( x ) = lim x → x 0 h ( x ) = l {\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)=\lim _{x\to x_{0}}h(x)=l} e se esiste un intorno U {\displaystyle U} di x 0 {\displaystyle x_{0}} tale che risulti:
f ( x ) ≤ g ( x ) ≤ h ( x ) ∀ x ∈ U ∩ X ∖ { x 0 } {\displaystyle f(x)\leq g(x)\leq h(x)\qquad \forall x\in U\cap X\backslash \left\{x_{0}\right\}} allora:
lim x → x 0 g ( x ) = l {\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}g(x)=l} Sia l ∈ R {\displaystyle l\in \mathbb {R} } . Preso un intorno V {\displaystyle V} di l {\displaystyle l} , ( l − ε , l + ε ) {\displaystyle (l-\varepsilon ,l+\varepsilon )} esistono intorni U 1 {\displaystyle U_{1}} e U 2 {\displaystyle U_{2}} di x 0 {\displaystyle x_{0}} .
Per definizione si ha:
x ≠ x 0 ∈ U 1 → f ( x ) ∈ V x ≠ x 0 ∈ U 2 → h ( x ) ∈ V {\displaystyle x\neq x_{0}\in U_{1}\to f(x)\in V\qquad x\neq x_{0}\in U_{2}\to h(x)\in V} Allora, preso l'intorno U = U 1 ∩ U 2 {\displaystyle U=U_{1}\cap U_{2}} di x 0 {\displaystyle x_{0}} , succede, per ipotesi, che:
l − ε ≤ f ( x ) ≤ g ( x ) ≤ h ( x ) ≤ l + ε {\displaystyle l-\varepsilon \leq f(x)\leq g(x)\leq h(x)\leq l+\varepsilon } cioè:
x ∈ U ∖ { x 0 } → g ( x ) ∈ V {\displaystyle x\in U\backslash \left\{x_{0}\right\}\to g(x)\in V} Del tutto analoga la dimostrazione per i casi l = ± ∞ {\displaystyle l=\pm \infty } , ma in questi due casi, basterà sono una funzione che maggiori (o minori) la funzione che si sta studiando.
Sia f : X f ⊆ R → R , g : X g ⊆ R → R , X f ∩ X g ≠ ∅ {\displaystyle f:X_{f}\subseteq \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\,g:X_{g}\subseteq \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\,X_{f}\cap X_{g}\neq \varnothing } e x 0 {\displaystyle x_{0}} un punto di accumulazione per X f , X g {\displaystyle X_{f},\,X_{g}} .
Se esistono
lim x → x 0 f ( x ) = l 1 lim x → x 0 g ( x ) = l 2 {\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)=l_{1}\qquad \lim _{x\to x_{0}}g(x)=l_{2}} allora:
lim x → x 0 ( c ⋅ f ( x ) ) = c ⋅ l 1 c ∈ R {\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}(c\cdot f(x))=c\cdot l_{1}\qquad c\in \mathbb {R} } lim x → x 0 ( f ( x ) ± g ( x ) ) = l 1 ± l 2 {\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}(f(x)\pm g(x))=l_{1}\pm l_{2}} lim x → x 0 ( f ( x ) ⋅ g ( x ) ) = l 1 ⋅ l 2 {\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}(f(x)\cdot g(x))=l_{1}\cdot l_{2}} lim x → x 0 1 f ( x ) = 1 l 1 l 1 ≠ 0 {\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}{1 \over f(x)}={1 \over l_{1}}\qquad l_{1}\neq 0} lim x → x 0 f ( x ) g ( x ) = l 1 l 2 l 2 ≠ 0 {\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}{f(x) \over g(x)}={l_{1} \over l_{2}}\qquad l_{2}\neq 0} (EN ) Miller, N. Limits Waltham, MA: Blaisdell, 1964 (EN ) R. Courant, Differential and integral calculus , 1–2 , Blackie (1948)