Equazione differenziale lineare di ordine superiore al primo

Un'equazione differenziale lineare di ordine superiore al primo è un'equazione differenziale lineare in cui compaiono derivate di ordine generico della funzione incognita.

Un'equazione differenziale lineare di ordine n completa a coefficienti variabili ha la forma:

${\displaystyle y^{(n)}+a_{1}(x)\cdot y^{(n-1)}+a_{2}(x)\cdot y^{(n-2)}+\cdots +a_{n-1}(x)\cdot y'+a_{n}(x)\cdot y=f(x)}$

Una tale equazione è in generale particolarmente difficile da risolvere, qualora sia possibile. Nel caso in cui tutti i coefficienti sono funzioni costanti:

${\displaystyle \,y^{(n)}+a_{1}\cdot y^{(n-1)}+a_{2}\cdot y^{(n-2)}+\cdots +a_{n-1}\cdot y'+a_{n}\cdot y=f(x)}$

l'equazione si risolve trovando una soluzione all'equazione lineare omogenea associata, alla quale si somma una soluzione particolare dell'equazione completa. Il corrispondente problema di Cauchy:

${\displaystyle {\begin{cases}y(x=x_{0})=y_{0}\\y'(x=x_{0})=y_{1}\\\vdots \\y^{(n)}(x=x_{0})=y_{n}\end{cases}}}$

è allora risolvibile e fornisce una e una sola soluzione.

Il più facile esempio di equazione differenziale di ordine n è:

${\displaystyle y^{(n)}=f(x)}$

il cui integrale è facilmente ricavabile:

${\displaystyle y=\int _{n}f(x)\,dx^{n}+c_{1}x^{n-1}+c_{2}x^{n-2}+\cdots +c_{n-1}x+c_{n}}$

Si tratta di integrare n volte la ${\displaystyle f(x)}$.

Un esempio numerico è ${\displaystyle y'''=\sin x}$, dove integrando tre volte successivamente si ha:

${\displaystyle y''=-\cos x+c_{1}^{''}\qquad y'=-\sin x+c_{1}^{'}\cdot x+c_{2}^{'}\qquad y=\cos x+c_{1}\cdot x^{2}+c_{2}x+c_{3}}$

Si può dimostrare che il wronskiano delle soluzioni dell'equazione differenziale è la soluzione generale dell'equazione omogenea associata. Le soluzioni devono essere indipendenti, e ciò implica che il wronskiano sia diverso da zero. La sua soluzione si ottiene con una procedura analoga a quella per le equazioni differenziali lineari del secondo ordine a coefficienti costanti, in cui si devono trovare le radici dell'equazione caratteristica associata:

${\displaystyle \lambda ^{n}+a_{1}\cdot \lambda ^{n-1}+a_{2}\cdot \lambda ^{n-2}+\cdots +a_{n-1}\cdot \lambda +a_{n}=0}$

• Se le radici ${\displaystyle \lambda _{i}}$ sono tutte distinte allora le soluzioni sono della forma:

${\displaystyle y=e^{\lambda _{i}\cdot x}}$

• Se una radice, ad esempio ${\displaystyle \lambda _{1}}$, è soluzione multipla di molteplicità ${\displaystyle s}$, allora affinché le sue soluzioni siano indipendenti devono avere la forma:

${\displaystyle e^{\lambda _{1}\cdot x}\quad xe^{\lambda _{1}x}\quad x^{2}e^{\lambda _{1}x}\quad \cdots \quad x^{s-1}e^{\lambda _{1}x}}$

• Se una radice è unica ed è la complessa coniugata di un'altra, ovvero ${\displaystyle \lambda _{1,2}=c\pm id}$, allora:

${\displaystyle e^{cx}\cos(dx),e^{cx}\sin(dx)}$

• Se la radice complessa coniugata ${\displaystyle \lambda =c\pm id}$ è multipla con molteplicità ${\displaystyle r}$ si ha:

${\displaystyle e^{cx}\cos(dx)\quad xe^{cx}\cos(dx)\quad x^{2}e^{cx}\cos(dx)\quad \cdots \quad x^{r-1}e^{cx}\cos(dx)}$

${\displaystyle e^{cx}\sin(dx)\quad xe^{cx}\sin(dx)\quad x^{2}e^{cx}\sin(dx)\quad \cdots \quad x^{r-1}e^{cx}\sin(dx)}$

La soluzione del problema di Cauchy si ottiene determinando il valore delle n costanti di integrazione che appaiono nella soluzione dell'omogenea.

Lo stesso argomento in dettaglio: Metodo delle variazioni delle costanti.

In generale per risolvere l'equazione caratteristica associata bisogna sommare alla soluzione dell'omogenea una soluzione particolare, ottenibile con il metodo delle variazioni delle costanti o metodo di Lagrange. Nel seguito si considerano alcuni casi particolari:

• Sia:

${\displaystyle f(x)=P(x)}$

dove ${\displaystyle P(x)}$ è un polinomio di grado m. In questo caso si cerca una soluzione particolare del tipo ${\displaystyle u(x)=P_{1}(x)}$, dove ${\displaystyle P_{1}(x)}$ è un polinomio formale di grado m. Se tuttavia la soluzione dell'omogenea è nulla, allora si deve cercare una soluzione del tipo:

${\displaystyle u(x)=x^{r}P_{1}(x)}$

• Sia:

${\displaystyle f(x)=A\cdot e^{\alpha x}}$

dove ${\displaystyle A}$ è una costante data. Se ${\displaystyle \alpha }$ non è una radice dell'equazione omogenea associata, si cerca una soluzione particolare del tipo:

${\displaystyle u(x)=B\cdot e^{\alpha x}}$

dove ${\displaystyle B}$ è una costante da determinare. Nel caso ${\displaystyle \alpha }$ sia radice di molteplicità ${\displaystyle r}$ si cerca una soluzione del tipo:

${\displaystyle u(x)=x^{r}\cdot B\cdot e^{\alpha x}}$

• Sia:

${\displaystyle f(x)=P(x)\cdot e^{\alpha x}}$

dove ${\displaystyle P(x)}$ è un polinomio di grado m. Se ${\displaystyle \alpha }$ non è una radice dell'equazione omogenea associata, si cerca una soluzione particolare del tipo:

${\displaystyle u(x)=P_{1}(x)\cdot e^{\alpha x}}$

dove ${\displaystyle P_{1}}$ è un polinomio formale di grado m. Nel caso ${\displaystyle \alpha }$ sia radice di molteplicità ${\displaystyle r}$ si cerca una soluzione del tipo:

${\displaystyle u(x)=x^{r}\cdot P_{1}(x)\cdot e^{\alpha x}}$

• Se ${\displaystyle f}$ possiede una delle seguenti espressioni:

${\displaystyle f(x)=A\cdot \cos(\beta x)\qquad f(x)=B\cdot \sin(\beta x)\qquad f(x)=A\cdot \cos(\beta x)+B\sin(\beta x)}$

dove ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B}$ sono costanti date, allora se ${\displaystyle i\beta }$ non è una radice dell'equazione omogenea associata si cerca una soluzione particolare del tipo:

${\displaystyle f(x)=C\cdot \cos(\beta x)+D\sin(\beta x)}$

dove ${\displaystyle C}$ e ${\displaystyle D}$ sono costanti da determinare. Nel caso ${\displaystyle i\beta }$ sia radice di molteplicità ${\displaystyle r}$ si cerca una soluzione del tipo:

${\displaystyle f(x)=x^{r}\left(C\cdot \cos(\beta x)+D\sin(\beta x)\right)}$

• Sia:

${\displaystyle f(x)=f_{1}(x)+f_{2}(x)+...+f_{m}(x)}$

Per la linearità dell'equazione si può risolvere separatamente:

${\displaystyle y^{(n)}+a_{1}y^{(n-1)}+\cdots +a_{n}y=f_{i}(x)\qquad i=1,...,m}$

e successivamente sommare le ${\displaystyle u_{i}(x)}$ soluzioni:

${\displaystyle u=u_{1}+u_{2}+\cdots +u_{m}}$

• Arfken, G. "A Second Solution." §8.6 in Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 467–480, 1985.
• Boyce, W. E. and DiPrima, R. C. Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems, 4th ed. New York: Wiley, 1986.
• Morse, P. M. and Feshbach, H. Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill, pp. 667–674, 1953.

• Equazione differenziale lineare del secondo ordine
• Equazione differenziale lineare
• Equazione differenziale ordinaria
• Wronskiano
• Metodo delle variazioni delle costanti
• Equazione omogenea di Eulero

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