Funzione di Onsager-Machlup

La funzione Onsager–Machlup è una funzione che riassume la dinamica di un processo stocastico continuo. Viene utilizzato per definire una funzione di densità di probabilità per un processo stocastico ed è simile alla Lagrangiana di un sistema dinamico . Prende il nome da Lars Onsager e Stefan Machlup che furono i primi a considerare tali densità di probabilità.^[1]

La dinamica di un processo stocastico continuo X dal tempo t = 0 a t = T in una dimensione, che soddisfa un'equazione differenziale stocastica ${\displaystyle dX_{t}=b(X_{t})\,dt+\sigma (X_{t})\,dW_{t}}$ dove W è un processo di Wiener, può essere descritto approssimativamente dalla funzione di densità di probabilità del suo valore ${\displaystyle x_{i}}$ in un numero finito di punti nel tempo ${\displaystyle t_{i}}$:

${\displaystyle p(x_{1},\ldots ,x_{n})=\left(\prod _{i=1}^{n-1}{\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma (x_{i})^{2}\Delta t_{i}}}}\right)\exp \left(-\sum _{i=1}^{n-1}L\left(x_{i},{\frac {x_{i+1}-x_{i}}{\Delta t_{i}}}\right)\,\Delta t_{i}\right)}$ dove ${\displaystyle L(x,v)={\frac {1}{2}}\left({\frac {v-b(x)}{\sigma (x)}}\right)^{2}}$e ${\displaystyle \Delta t_{i}=t_{i+1}-t_{i}>0}$, ${\displaystyle t_{1}=0}$ e ${\displaystyle t_{n}=T}$.

Un'approssimazione simile è possibile per processi in dimensioni superiori.

L'approssimazione è più accurata per ${\displaystyle \Delta t_{i}}$ molto piccoli, ma nel limite ${\displaystyle \Delta t_{i}\rightarrow 0}$ la funzione di densità di probabilità diventa mal definita, uno dei motivi è che il prodotto dei termini ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma (x_{i})^{2}\Delta t_{i}}}}}$ diverge all'infinito.

Nonostante questo, per definire una densità per il processo stocastico continuo X, si considerano comunque i rapporti di probabilità di X che giaciono entro una piccola distanza ε dalle curve lisce ${\displaystyle \varphi _{1}}$ e ${\displaystyle \varphi _{2}}$:^[2]

${\displaystyle {\frac {P\left(\left|X_{t}-\varphi _{1}(t)\right|\leq \varepsilon {\text{ for every }}t\in [0,T]\right)}{P\left(\left|X_{t}-\varphi _{2}(t)\right|\leq \varepsilon {\text{ for every }}t\in [0,T]\right)}}\to \exp \left(-\int _{0}^{T}L\left(\varphi _{1}(t),{\dot {\varphi }}_{1}(t)\right)\,dt+\int _{0}^{T}L\left(\varphi _{2}(t),{\dot {\varphi }}_{2}(t)\right)\,dt\right)}$ con ε → 0, dove L è la funzione di Onsager-Machlup .

Consideriamo una varietà Riemanniana con d-dimensioni ${\displaystyle M}$ e un processo di diffusione ${\displaystyle X=\{X_{t}:0\leq t\leq T\}}$ su ${\displaystyle M}$ con generatore infinitesimale ${\displaystyle 1/2\Delta _{M}+b}$ dove ${\displaystyle \Delta _{M}}$ è l'operatore Laplace-Beltrami e ${\displaystyle b}$ è un campo vettoriale.

Per ogni coppia di curve lisce qualsiasi ${\displaystyle \varphi _{1},\varphi _{2}:[0,T]\rightarrow M}$ vale:

${\displaystyle \lim _{\varepsilon \downarrow 0}{\frac {P\left(\rho (X_{t},\varphi _{1}(t))\leq \varepsilon {\text{ for every }}t\in [0,T]\right)}{P\left(\rho (X_{t},\varphi _{2}(t))\leq \varepsilon {\text{ for every }}t\in [0,T]\right)}}=\exp \left(-\int _{0}^{T}L\left(\varphi _{1}(t),{\dot {\varphi }}_{1}(t)\right)\,dt+\int _{0}^{T}L\left(\varphi _{2}(t),{\dot {\varphi }}_{2}(t)\right)\,dt\right)}$ dove ${\displaystyle \rho }$ è la distanza Riemanniana, ${\displaystyle \scriptstyle {\dot {\varphi }}_{1},{\dot {\varphi }}_{2}}$ denotano le derivate prime di ${\displaystyle \varphi _{1}}$, ${\displaystyle \varphi _{2}}$, e ${\displaystyle L}$ è chiamata funzione di Onsager–Machlup.

La funzione Onsager–Machlup è data da:

${\displaystyle L(x,v)={\tfrac {1}{2}}\|v-b(x)\|_{x}^{2}+{\tfrac {1}{2}}\operatorname {div} \,b(x)-{\tfrac {1}{12}}R(x)}$ dove ${\displaystyle \lVert \cdot \rVert _{x}}$ è la norma Riemanniana nello spazio tangente ${\displaystyle T_{x}(M)}$ in x, ${\displaystyle div\ b(x)}$ è la divergenza di ${\displaystyle b}$ in x, e ${\displaystyle R(x)}$ è la curvatura scalare in x.^[3][4][5]

Gli esempi seguenti forniscono espressioni esplicite per la funzione Onsager-Machlup di processi stocastici continui.

La funzione Onsager-Machlup di un processo di Wiener sulla retta reale R è data da: ${\displaystyle L(x,v)={\tfrac {1}{2}}|v|^{2}}$ ^[6]

Dimostrazione:

Sia ${\displaystyle X=\{X_{t}:0\leq t\leq T\}}$ un processo di Wiener su R e sia φ : [0, T ] → R una curva differenziabile due volte tale che ${\displaystyle \varphi (0)=X_{0}}$.

Definire un altro processo ${\displaystyle X^{\varphi }=\{X_{t}^{\varphi }:0\leq t\leq T\}}$ per ${\displaystyle X_{t}^{\varphi }=X_{t}-\varphi (t)}$ e una misura ${\displaystyle P^{\varphi }}$ per ${\displaystyle P^{\varphi }=\exp \left(\int _{0}^{T}{\dot {\varphi }}(t)\,dX_{t}^{\varphi }+\int _{0}^{T}{\tfrac {1}{2}}\left|{\dot {\varphi }}(t)\right|^{2}\,dt\right)\,dP.}$

Per ogni ε > 0, la probabilità che ${\displaystyle \left\vert X_{t}-\varphi (t)\right\vert \leq \epsilon }$ per ogni t ∈ [0, T] soddisfi

${\displaystyle {\begin{aligned}P\left(\left|X_{t}-\varphi (t)\right|\leq \varepsilon {\text{ for every }}t\in [0,T]\right)&=P\left(\left|X_{t}^{\varphi }\right|\leq \varepsilon {\text{ for every }}t\in [0,T]\right)\\&=\int _{\left\{\left|X_{t}^{\varphi }\right|\leq \varepsilon {\text{ for every }}t\in [0,T]\right\}}\exp \left(-\int _{0}^{T}{\dot {\varphi }}(t)\,dX_{t}^{\varphi }-\int _{0}^{T}{\tfrac {1}{2}}|{\dot {\varphi }}(t)|^{2}\,dt\right)\,dP^{\varphi }.\end{aligned}}}$

Per il teorema di Girsanov, la distribuzione di Xφ sotto Pφ è uguale alla distribuzione di X sotto P, quindi quest'ultima può essere sostituita dalla prima:

${\displaystyle P(|X_{t}-\varphi (t)|\leq \varepsilon {\text{ for every }}t\in [0,T])=\int _{\left\{\left|X_{t}^{\varphi }\right|\leq \varepsilon {\text{ for every }}t\in [0,T]\right\}}\exp \left(-\int _{0}^{T}{\dot {\varphi }}(t)\,dX_{t}-\int _{0}^{T}{\tfrac {1}{2}}|{\dot {\varphi }}(t)|^{2}\,dt\right)\,dP.}$

Per il lemma di Itō vale la seguente equaglianza:

${\displaystyle \int _{0}^{T}{\dot {\varphi }}(t)\,dX_{t}={\dot {\varphi }}(T)X_{T}-\int _{0}^{T}{\ddot {\varphi }}(t)X_{t}\,dt,}$

Dove ${\displaystyle \scriptstyle {\ddot {\varphi }}}$ è la derivata seconda di φ, e quindi questo termine è di ordine ε nell'evento in cui ${\displaystyle \vert X_{t}\vert \leq \epsilon }$ per ogni t ∈ [0, T ] e scomparirà nel limite ε → 0, quindi

${\displaystyle \lim _{\varepsilon \downarrow 0}{\frac {P(|X_{t}-\varphi (t)|\leq \varepsilon {\text{ for every }}t\in [0,T])}{P(|X_{t}|\leq \varepsilon {\text{ for every }}t\in [0,T])}}=\exp \left(-\int _{0}^{T}{\tfrac {1}{2}}|{\dot {\varphi }}(t)|^{2}\,dt\right).}$

La funzione di Onsager-Machlup nel caso unidimensionale con coefficiente di diffusione costante σ è data da:^[7]

${\displaystyle L(x,v)={\frac {1}{2}}\left|{\frac {v-b(x)}{\sigma }}\right|^{2}+{\frac {1}{2}}{\frac {db}{dx}}(x).}$

Nel caso con d-dimensioni, con σ uguale alla matrice unitaria, la funzione è data da ${\displaystyle L(x,v)={\frac {1}{2}}\|v-b(x)\|^{2}+{\frac {1}{2}}(\operatorname {div} \,b)(x)}$, dove || ⋅ || è la norma euclidea e ${\displaystyle (\operatorname {div} \,b)(x)=\sum _{i=1}^{d}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}b_{i}(x).}$ ^[6]

Le generalizzazioni sono state ottenute indebolendo la condizione di differenziabilità sulla curva φ.^[8] Invece di prendere la distanza massima tra il processo stocastico e la curva in un intervallo di tempo, sono state considerate altre condizioni come distanze basate su norme completamente convessee norme di tipo Hölder, Besov e Sobolev.^[9][10]

La funzione Onsager-Machlup può essere utilizzata per scopi di riponderazione e campionamento delle traiettorie,^[11] nonché per determinare la traiettoria più probabile di un processo di diffusione.^[11][12]

• Lagrangiana
• Integrazione funzionale

• Funzione di Onsager-Machlup. Enciclopedia della matematica. URL: http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Onsager-Machlup_function&oldid=22857