Equazione ipergeometrica confluente

In matematica, l'equazione ipergeometrica confluente o equazione di Kummer, da Ernst Kummer, è un'equazione differenziale lineare del secondo ordine ottenuta a partire dall'equazione di Papperitz-Riemann facendo confluire due singolarità in un solo punto; è strettamente legata con l'equazione ipergeometrica e le sue soluzioni, le funzioni ipergeometriche. Ciascuna delle soluzioni dell'equazione ipergeometrica confluente è analogamente chiamata funzione ipergeometrica confluente.

Si individuano in particolare due soluzioni indipendenti, fornite da serie ipergeometriche: la prima è denotata con ${\displaystyle M(a,b,z)}$ e viene detta funzione ipergeometrica di Kummer, mentre la seconda è denotata con ${\displaystyle U(a,b,z)}$ e chiamata funzione di Whittaker, in riferimento a Edmund Taylor Whittaker, oppure anche funzione ipergeometrica confluente di Tricomi (da Francesco Tricomi) o funzione ipergeometrica di Gordon-Tricomi. Da notare che per funzione di Kummer si intende invece una funzione speciale non collegata alle precedenti.

L'equazione ipergeometrica confluente ha la forma:

${\displaystyle z{\frac {d^{2}}{dz^{2}}}\,w(z)+(b-z){\frac {d}{dz}}\,w(z)-a\,w(z)=0}$

dove ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ e ${\displaystyle z}$ sono variabili complesse (o variabili formali); in genere ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$ sono considerati parametri che caratterizzano una famiglia di equazioni (e di funzioni di ${\displaystyle z}$ loro soluzioni).

La funzione ipergeometrica di Kummer è data dalla serie ipergeometrica generalizzata:

${\displaystyle M(a,b,z)=1+{\frac {a}{b}}z+{\frac {a(a+1)}{b(b+1)}}{\frac {z^{2}}{2!}}+\dots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a)_{n}\,z^{n}}{(b)_{n}\,n!}}={}_{1}F_{1}(a;b;z)}$

dove:

${\displaystyle a^{(0)}=1,}$

${\displaystyle a^{(n)}=a(a+1)(a+2)\cdots (a+n-1)}$

è il fattoriale crescente. Le funzioni di Bessel, la funzione gamma incompleta, i polinomi di Hermite e i polinomi di Laguerre sono casi particolari della funzione ipergeometrica di Kummer.

La funzione di Whittaker (funzione ipergeometrica confluente di Tricomi) è data da:

${\displaystyle U(a,b,z)={\frac {\pi }{\sin \pi b}}\left[{\frac {M(a,b,z)}{\Gamma (1+a-b)\Gamma (b)}}-z^{1-b}{\frac {M(1+a-b,2-b,z)}{\Gamma (a)\Gamma (2-b)}}\right]}$

Esiste una notazione alternativa per ${\displaystyle U(a,b,z)=z^{-a}{}_{2}F_{0}(a,1+a-b;;-1/z)}$ (si veda il testo di Abramowitz e Stegun).

Vi sono molte funzioni speciali che possono essere espresse come caso speciale della funzione ipergeometrica confluente:

• Alcune funzioni elementari, come ad esempio:

${\displaystyle M(0,b,z)=1\qquad U(0,c,z)=1\qquad M(b,b,z)=\exp(z)\qquad U(a,a+1,z)=z^{-a}}$

e anche:

${\displaystyle U(a,a,z)=\exp(z)\int _{z}^{\infty }u^{-a}\exp(-u)du}$

che è un polinomio per ${\displaystyle a}$ intero non positivo, oppure:

${\displaystyle {\frac {U(1,b,z)}{\Gamma (b-1)}}+{\frac {M(1,b,z)}{\Gamma (b)}}=z^{1-b}\exp(z)}$

mentre ${\displaystyle U(-n,-2n,z)}$ è un polinomio di Bessel per ${\displaystyle n}$ intero e ${\displaystyle M(n,b,z)}$ è il polinomio generalizzato di Laguerre per ${\displaystyle n}$ intero non-positivo.

• La funzione di Bateman
• Le funzioni di Bessel ed altre funzioni correlate, come le funzioni di Airy, le funzioni di Kelvin e le funzioni di Hankel.
• La funzione degli errori può essere scritta come:

${\displaystyle \mathrm {erf} (x)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{x}e^{-t^{2}}dt={\frac {2x}{\sqrt {\pi }}}\,_{1}F_{1}\left({\frac {1}{2}},{\frac {3}{2}},-x^{2}\right)}$

• La funzione integrale esponenziale, il seno integrale e il logaritmo integrale.
• I polinomi di Hermite e i polinomi di Laguerre
• La funzione gamma incompleta
• La funzione parabolica del cilindro
• Le funzioni di Whittaker ${\displaystyle M_{\kappa ,\mu }\left(z\right)}$ e ${\displaystyle W_{\kappa ,\mu }\left(z\right)}$ sono soluzioni dell'omonima equazione, che può essere scritta attraverso le funzioni di Kummer ${\displaystyle M}$ e ${\displaystyle U}$ come:

${\displaystyle M_{\kappa ,\mu }\left(z\right)=\exp \left(-z/2\right)z^{\mu +{\tfrac {1}{2}}}M\left(\mu -\kappa +{\frac {1}{2}},1+2\mu ;z\right)}$

${\displaystyle W_{\kappa ,\mu }\left(z\right)=\exp \left(-z/2\right)z^{\mu +{\tfrac {1}{2}}}U\left(\mu -\kappa +{\frac {1}{2}},1+2\mu ;z\right)}$

Se ${\displaystyle \Re (b)>\Re (a)>0}$, allora ${\displaystyle M(a,b,z)}$ può essere rappresentato con forma di integrale:

${\displaystyle M(a,b,z)={\frac {\Gamma (b)}{\Gamma (a)\Gamma (b-a)}}\int _{0}^{1}e^{zu}u^{a-1}(1-u)^{b-a-1}\,du}$

dove ${\displaystyle M(a,a+b,it)}$ è la funzione caratteristica della distribuzione Beta. Per ${\displaystyle a}$ con parte positiva reale, ${\displaystyle U}$ può essere ottenuto dalla trasformata di Laplace:

${\displaystyle U(a,b,z)={\frac {1}{\Gamma (a)}}\int _{0}^{\infty }e^{-zt}t^{a-1}(1+t)^{b-a-1}\,dt\qquad \Re (a)>0)}$

L'integrale definisce una soluzione nella parte destra del semipiano ${\displaystyle \Re (z)>0}$.

La funzione di Kummer può essere espressa in diversi modi come sviluppo in polinomi di Laguerre, ad esempio:

${\displaystyle M\left(a,b,{\frac {xy}{x-1}}\right)=(1-x)^{a}\cdot \sum _{n}{\frac {a^{(n)}}{b^{(n)}}}L_{n}^{(b-1)}(y)x^{n}}$

Valgono i seguenti teoremi di moltiplicazione:

${\displaystyle {\begin{aligned}U(a,b,z)&=e^{(1-t)z}\sum _{i=0}{\frac {(t-1)^{i}z^{i}}{i!}}U(a,b+i,zt)=\\&=e^{(1-t)z}t^{b-1}\sum _{i=0}{\frac {\left(1-{\frac {1}{t}}\right)^{i}}{i!}}U(a-i,b-i,zt)\end{aligned}}}$

• (EN) Arthur Erdélyi, Whilhelm Magnus, Fritz Oberhettinger, Francesco Tricomi (1953) Higher transcendental functions Vol. I, Krieger Publishing, Ristampa Mc Graw-Hill (1981), Chapter VI.
• (EN) A. D. MacDonald Properties of the Confluent Hypergeometric Function (RLE Technical Report, MIT, 1948)
• (FR) Francesco Tricomi (1960) Fonctions hypergéométriques confluentes Mémorial des sciences mathématiques, n° 140, Gauthiers-Villars, Parigi.
• (EN) Milton Abramowitz, Irene A. Stegun (1964): Handbook of Mathematical Functions, Dover Publications, New York. ISBN 0-486-61272-4, Capitolo 13.
• (EN) Arfken, G. "Confluent Hypergeometric Functions." §13.6 in Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 753-758, 1985.
• (EN) Morse, P. M. and Feshbach, H. Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill, pp. 551-555, 1953.
• (EN) Slater, L. J. Confluent Hypergeometric Functions. Cambridge, England: Cambridge University Press, 1960.
• (EN) Zwillinger, D. Handbook of Differential Equations, 3rd ed. Boston, MA: Academic Press, pp. 123-124, 1997.

• Equazione di Papperitz-Riemann
• Funzioni di Bessel
• Funzioni di Whittaker
• Funzione gamma incompleta
• Polinomi di Hermite
• Polinomi di Laguerre
• Serie ipergeometrica

• (EN) Eric W. Weisstein, Equazione ipergeometrica confluente, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Equazione ipergeometrica confluente, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.
• (EN) Kummer hypergeometric function su Wolfram Functions site
• (EN) Tricomi hypergeometric function su Wolfram Functions site

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