Dopo non essere stato scelto nel Draft NFL, Cuozzo giocò nella lega per dieci stagioni dal 1963 al 1972. Iniziò la sua carriera con i Baltimore Colts come riserva di Johnny Unitas. Quando quest'ultimo si infortunò nel 1965, Cuozzo lo sostituì ma finì per infortunarsi anch'egli. Fu scambiato con i New Orleans Saints, al loro primo anno nella lega, nel 1967, diventando il primo quarterback titolare della storia della franchigia[1]. L'anno successivo fu scambiato coi Minnesota Vikings. Dopo quattro anni nel Minnesota, Cuozzo fu scambiato coi St. Louis Cardinals nel 1972, ritirandosi a fine stagione.
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