Indipendenza condizionata

In teoria della probabilità, l'indipendenza condizionata descrive casi in cui un'osservazione è irrilevante o ridondante per la valutazione della certezza di un'ipotesi. L'indipendenza condizionata viene formulata solitamente in termini della probabilità condizionata come caso speciale in cui la probabilità dell'ipotesi date osservazioni non informative è pari alla probabilità in mancanza di esse.

Se ${\displaystyle A}$ è l'ipotesi e ${\displaystyle B}$ e ${\displaystyle C}$ sono osservazioni, l'indipendenza condizionata può essere definita dall’uguaglianza:

${\displaystyle P(A\mid B,C)=P(A\mid C)}$

a patto che le probabilità condizionate siano ben definite.

Dato che la probabilità di ${\displaystyle A}$ data ${\displaystyle C}$ è pari alla probabilità di ${\displaystyle A}$ date ${\displaystyle B}$ e ${\displaystyle C}$, questa uguaglianza esprime il fatto che ${\displaystyle B}$ non affatto alla certezza di ${\displaystyle A}$. In tal caso, ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B}$ sono dette condizionatamente indipendenti data ${\displaystyle C}$, il che può essere denotato in simboli come segue: ${\displaystyle (A\perp \!\!\!\perp B\mid C)}$.

${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B}$ sono incondizionatamente indipendenti se ${\displaystyle P(A,B)=P(A)P(B)}$, cioè se sono condizionatamente indipendenti in assenza di altre informazioni. Si noti che l'indipendenza incondizionata di ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B}$ non implica che esse siano condizionatamente indipendenti date altre osservazioni denotate da ${\displaystyle C}$.

Le definizioni precedenti possono essere estese a casi in cui ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B}$ rappresentino variabili aleatorie e ${\displaystyle C}$ rappresenti un insieme di variabili casuali, per le quali si considerano specifiche assegnazioni di valori dal rispettivo dominio.

Un altro concetto correlato è quello di indipendenza dal contesto specifico. ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B}$ sono indipendenti rispetto al contesto ${\textstyle C=c}$ se $${\displaystyle P(A|B,C=c)=P(A|C=c)}$$

sempre se le probabilità condizionate sono ben definite. La definizione è analoga a quella dell'indipendenza condizionata, ma l'uguaglianza deve valere per ogni valore assegnabile ad ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B}$ dai rispettivi domini ma solo per la specifica assegnazione di valori ${\displaystyle c}$ a ciascuna variabile di ${\displaystyle C}$.

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