Indipendenza lineare

In matematica, e più precisamente in algebra lineare, l'indipendenza lineare di un insieme di vettori appartenenti a uno spazio vettoriale si verifica se nessuno di questi può essere espresso come una combinazione lineare degli altri. In caso contrario si dice che l'insieme di vettori è linearmente dipendente.

L'indipendenza di vettori in può essere verificata tramite il determinante della matrice ottenuta affiancando le n-uple che esprimono i vettori in una data base: questi sono indipendenti precisamente quando la matrice che formano ha determinante diverso da zero. Questo procedimento di calcolo è però in generale dispendioso, e conviene piuttosto utilizzare l'algoritmo di Gauss-Jordan.

Sia uno spazio vettoriale su un campo . Dati elementi di , si dice che essi sono linearmente indipendenti su se in tale campo la relazione:

è verificata solo se gli elementi sono tutti uguali a zero.[1] Se invece tali n-uple di elementi non nulli del campo esistono, allora si dice che elementi di sono linearmente dipendenti.

La definizione si estende anche a un insieme infinito di vettori di : questi sono linearmente indipendenti se lo sono tutti i sottoinsiemi finiti.

Il concetto di indipendenza lineare è di grande importanza, poiché un insieme di vettori linearmente indipendenti forma una base per il sottospazio da lui generato, e quindi il loro numero risulta essere la dimensione di questo spazio.

Lo spazio proiettivo delle dipendenze lineari

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Si consideri l'insieme costituito dai vettori . Si dice dipendenza lineare per un vettore di diverso da tale che:

Se una tale dipendenza lineare esiste, allora gli n vettori sono linearmente dipendenti. Data una dipendenza lineare per un insieme di vettori, ogni vettore proporzionale a essa, con appartenente a , è una dipendenza lineare per lo stesso . Questo rende lecito identificare due dipendenze lineari l'una multipla non nulla dell'altra.

In conseguenza di tale identificazione, l'insieme di tutte le dipendenze lineari per l'insieme costituito dai vettori è uno sottospazio dello spazio proiettivo .

I vettori e in sono linearmente indipendenti. Infatti, siano e due numeri reali tali che:

allora:

cioè:

risolvendo per e , si trova e .

Base canonica

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Sia e si considerino i seguenti elementi in :

allora sono linearmente indipendenti. Infatti, si supponga che siano elementi di tali che:

Poiché:

allora per ogni in .

Sia lo spazio vettoriale di tutte le funzioni da in . Indicando con la variabile reale, le funzioni ed in sono linearmente indipendenti. Infatti, si supponga che e siano due numeri reali tali che:

per ogni valore di . Si deve dimostrare che e . A questo scopo si differenziano entrambi i membri della precedente relazione per avere:

Sottraendo la prima relazione dalla seconda, si ottiene:

e, considerando il valore particolare , si ha .

Dalla prima relazione allora:

e di nuovo per si trova .

  1. ^ Hoffman, Kunze, pag. 40.

Voci correlate

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Collegamenti esterni

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