Operatore completamente continuo

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In matematica, un operatore completamente continuo è un operatore lineare limitato tra spazi di Banach che trasforma successioni debolmente convergenti in successioni convergenti in norma. In modo equivalente, una funzione ${\displaystyle f}$ che mappa tutti i sottospazi relativamente debolmente compatti di uno spazio di Banach ${\displaystyle X}$ in sottospazi relativamente compatti di uno spazio di Banach ${\displaystyle Y}$ è completamente continua.

Dato uno spazio localmente convesso ${\displaystyle V}$ sui reali, una funzione continua ${\displaystyle f:D\to V}$ definita su un insieme chiuso ${\displaystyle D\subset V}$ è completamente continua se esiste un insieme compatto ${\displaystyle K}$ tale per cui ${\displaystyle f(D)\subset K}$.

Tutti gli operatori compatti sono completamente continui, ma non è vero il viceversa.

• (DE) D. Hilbert, Grundzüge einer allgemeinen Theorie der linearen Integralgleichungen , Chelsea, reprint (1953)
• (FR) F. Riesz, "Sur les opérations fonctionelles linéaires" C.R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math. , 149 (1909) pp. 974–977
• (FR) S.S. Banach, Théorie des opérations linéaires , Hafner (1932)
• (EN) R. E. Megginson, An Introduction to Banach Space Theory , Springer (1998) pp. 336–339
• (EN) A. Pietsch, History of Banach Spaces and Linear Operators , Birkhauser (2007) pp. 49–50

• Operatore compatto
• Operatore lineare continuo
• Sottospazio relativamente compatto
• Topologia operatoriale

• (EN) M.I. Voitsekhovskii, Completely-continuous operator, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.
• (EN) Sadayuki Yamamuro - Some fixed point theorems in locally convex linear spaces (PDF), su kamome.lib.ynu.ac.jp. URL consultato il 4 giugno 2015 (archiviato dall'url originale il 5 giugno 2015).

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