Polinomio separabile

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Un polinomio ${\displaystyle f(x)}$ a coefficienti in un campo ${\displaystyle K}$ si dice separabile se le sue radici sono distinte in una chiusura algebrica di ${\displaystyle K}$, ovvero il numero di radici distinte è uguale al grado del polinomio. Una definizione simile è quella di polinomio privo di quadrati (detto talvolta polinomio square-free): in particolare, nel caso in cui il campo ${\displaystyle K}$ sia perfetto, i due concetti coincidono. In generale, ${\displaystyle f(x)}$ è separabile se e solo se è privo di quadrati in ogni campo contenente ${\displaystyle K}$, e ciò vale se e solo se ${\displaystyle f(x)}$ è coprimo con la sua derivata formale ${\displaystyle Df(x)}$.

Si prova che tutti i polinomi irriducibili ${\displaystyle f(x)\in K[x]}$ che hanno uno zero in un'estensione separabile di K sono separabili. Di conseguenza sono separabili tutti i polinomi a coefficienti su campi perfetti, e dunque i polinomi su campi di caratteristica 0 o su campi finiti.

Per quanto detto, è chiaro che ogni polinomio del tipo ${\displaystyle f(x)=x^{n}-1\in \mathbb {Q} [x]}$ è separabile, ma è immediato verificare direttamente che${\displaystyle \ x^{n}-1}$ e ${\displaystyle f\ '(x)=nx^{n-1}}$ sono coprimi e dunque che ${\displaystyle f}$ è separabile su ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ nel senso più forte. Si osservi tuttavia che questo procedimento non si può fare per polinomi del tipo ${\displaystyle f(x)=x^{p}-y^{p}\in F_{p}(y^{p})[x]}$, ove ${\displaystyle F_{p}(y^{p})}$ è il campo finito con p elementi a cui si è aggiunta la potenza p-esima di un elemento y trascendente su ${\displaystyle F_{p}}$. Si ha infatti che ${\displaystyle f\ '(x)=0}$ e dunque il massimo comun divisore tra f' e f è f stesso e quindi, dato che non è difficile provare che f è irriducibile, si ha che f non è separabile per nessuna delle due definizioni.

In generale, si prova che i polinomi irriducibili non separabili su un campo di caratteristica p sono esattamente i polinomi irriducibili che si possono scrivere come ${\displaystyle f(x)=g(x^{p})}$ per un qualche polinomio g(x).

• (EN) Eric W. Weisstein, Polinomio separabile, su MathWorld, Wolfram Research.

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