Numero primo di Wieferich

In matematica, un primo di Wieferich è un numero primo p tale che p² divide 2^{p − 1} − 1; si confronti questo con il piccolo teorema di Fermat, secondo cui ogni primo p divide 2^{p − 1} − 1. I primi di Wieferich vennero descritti per la prima volta nel 1909 da Arthur Wieferich, in lavori riguardanti l'ultimo teorema di Fermat.

Gli unici primi di Wieferich conosciuti sono 1093 e 3511^[1], trovati rispettivamente da W. Meissner nel 1913 e N. G. W. H. Beeger nel 1922; se ne esistono altri, devono essere > 1,25×10^15[2]. Si è congetturato che esista solo una moltitudine finita di primi di Wieferich; la congettura è tutt'oggi indimostrata, anche se J. H. Silverman nel 1988 fu in grado di dimostrare che se la congettura abc regge, allora per ogni intero positivo a > 1, esiste una moltitudine infinita di primi p tali che p² non divide a^{p − 1} − 1.

• Primi di Wieferich e numeri di Mersenne.

Un numero di Mersenne è definito come M_q = 2^q −1 (dove q è primo) e per il piccolo teorema di Fermat si sa che M_p−1 (= 2^p−1−1) è sempre divisibile per un primo p.

Inoltre, può essere che, con q che è un fattore primo di p−1 anche M_q < M_p−1 sia divisibile per p.

Dalla definizione di primo di Wieferich w si ha che 2^w−1 −1 sia divisibile per w² e non solo per w.

Ora q può essere un fattore di w−1, e M_q è ancora divisibile per w; quindi la domanda che sorge è se esiste un numero di Mersenne M_q, che sia anche divisibile per w² o possa essere esso stesso un primo di Wieferich.

Si può anche mostrare che

se w² divide 2^w−1−1, e w dividesse M_q (= 2^q−1), dove q è il divisore primo di w−1

allora anche w² deve dividere M_q; quindi M_q conterrebbe un quadrato (e non potrebbe essere primo).

I due primi di Wieferich noti w=1093 e w=3511, non soddisfano la condizione di dividere un numero di Mersenne M_q con esponente primo q; quindi

nessun primo di Wieferich è un fattore di un numero di Mersenne.

Ma che questo sia impossibile in generale non è attualmente noto; una versione più generale di questa domanda è: I numeri di Mersenne sono tutti interi privi di quadrati?

Poiché qualsiasi M_q contenente un primo di Wieferich w deve anche contenere w², ne segue immediatamente che non sarà primo. Quindi

un primo di Mersenne non può essere un primo di Wieferich.

• Generalizzazione ciclotomica

Per una generalizzazione ciclotomica della proprietà di Wieferich (n^p−1)/(n−1) divisibile per w² esistono soluzioni come

(3⁵ - 1)/(3-1) = 11²

e anche esponenti superiori a 2 come in

(19⁶ - 1)/(19-1) divisibile per 7³

• Inoltre, se w è un primo di Wieferich, allora 2^w2 = 2 (mod w²).

Il seguente teorema che collega i primi di Wieferich e l'ultimo teorema di Fermat venne dimostrato da Wieferich nel 1909:

Sia p un numero primo, e siano x, y, z interi tali che x^p + y^p + z^p = 0. Si assuma inoltre che p non divida il prodotto xyz. Allora p è un primo di Wieferich.

Nel 1910, Mirimanoff fu in grado di espandere il teorema mostrando che, se le precondizioni del teorema sono vere per qualche primo p, allora p² deve dividere anche 3^{p − 1}. I numeri primi di questo tipo sono stati talvolta chiamati primi di Mirimanoff, ma il nome non è entrato nella terminologia matematica generalmente in uso.

• A. Wieferich, "Zum letzten Fermat'schen Theorem", Journal für Reine Angewandte Math., 136 (1909) 293-302
• N. G. W. H. Beeger, "On a new case of the congruence 2^{p − 1} = 1 (p²), Messenger of Math, 51 (1922), 149-150
• W. Meissner, "Über die Teilbarkeit von 2p^p − 2 durch das Quadrat der Primzahl p=1093, Sitzungsber. Akad. d. Wiss. Berlin (1913), 663-667
• J. H. Silverman, "Wieferich's criterion and the abc-conjecture", Journal of Number Theory, 30:2 (1988) 226-237

• Primo di Wilson
• Primo di Wall-Sun-Sun
• Primo di Wolstenholme

• (EN) Eric W. Weisstein, Numero primo di Wieferich, su MathWorld, Wolfram Research.
• Il glossario dei primi: primo di Wieferich, su primes.utm.edu.
• Stato della ricerca per i primi di Wieferich, su loria.fr.
• Wieferich@Home, su elmath.org. URL consultato il 27 aprile 2019 (archiviato dall'url originale il 1º aprile 2009).

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