Problema di Waring

In matematica, in particolare in teoria dei numeri, il problema di Waring, proposto da Edward Waring nel 1770, pone la seguente questione: esiste per ogni numero naturale ${\displaystyle k}$ un intero positivo ${\displaystyle s}$ tale che ogni numero naturale sia la somma di al più ${\displaystyle s}$ potenze ${\displaystyle k}$-esime di numeri naturali?

La risposta affermativa, nota come teorema di Hilbert-Waring, fu fornita da Hilbert nel 1909.

Il problema di Waring ha la sua Classificazione delle ricerche matematiche, 11P05, come "Waring's problem and variants".

Per ogni k, il minimo numero s che verifica il teorema di Hilbert-Waring è denotato con g(k). Banalmente g(1)=1.

La prima parziale risposta sulla strada della determinazione esplicita di g(k) è stato il teorema di Lagrange del 1770, il quale stabilisce che quattro quadrati sono sufficienti a rappresentare ogni numero naturale; inoltre 7 non può essere scritto come somma di tre quadrati, e quindi g(2)=4.

Negli anni furono stabiliti vari limiti usando sofisticate tecniche di dimostrazione. Ad esempio Joseph Liouville mostrò che g(4) è minore o uguale di 53. Hardy e Littlewood provarono che ogni numero sufficientemente grande è la somma di 19 quarte potenze.

Wieferich^[1] e A. J. Kempner^[2] dimostrarono tra il 1909 e il 1913 che g(3)=9; mentre R. Balasubramanian, F. Dress, e J.-M. Deshouillers^[3][4] provarono che g(4)=19 nel 1986; Chen Jingrun dimostrò che g(5)=37 nel 1964 e Pillai^[5] che g(6)=73 nel 1940.

Eulero congetturò che

${\displaystyle g(k)=2^{k}+\left[\left({\frac {3}{2}}\right)^{k}\right]-2}$

dove [x] denota la parte intera di x^[6].

Legata a g(k) è la funzione G(k), definita come quel numero s tale che ogni numero sufficientemente grande è somma di al più s potenze k-esime. Dalla definizione è chiaro che ${\displaystyle G(k)\leq g(k)}$, poiché se ogni numero è somma di s potenze a maggior ragione lo sarà ogni numero da un certo punto in poi.

È facile vedere che G(2)=4, perché ogni numero congruo a 7 modulo 8 non può essere rappresentato come somma di tre quadrati (dimostrando quindi che ${\displaystyle G(2)\geq 4}$), e al contempo si ha g(2)=4.

Harold Davenport dimostrò nel 1939 che G(4)=16.

Non sono noti altri valori di G(k); sono però conosciuti limiti inferiori e superiori.

Per ogni ${\displaystyle k}$ maggiore di ${\displaystyle 1}$ si ha ${\displaystyle G(k)>k}$. Per classi speciali di numeri questo limite si alza:

• se ${\displaystyle k=2^{r}}$ o ${\displaystyle k=3\cdot 2^{r}}$ (con ${\displaystyle r>1}$) allora ${\displaystyle G(k)\geq 2^{r+2}}$;
• se ${\displaystyle p}$ è un primo maggiore di ${\displaystyle 2}$ e ${\displaystyle k=p^{r}(p-1)}$, allora ${\displaystyle G(k)\geq p^{r+1}}$;
• se ${\displaystyle p}$ è un primo maggiore di ${\displaystyle 2}$ e ${\displaystyle k={\frac {p^{r}(p-1)}{2}}}$, allora ${\displaystyle G(k)\geq {\frac {p^{r+1}-1}{2}}}$.

Sono noti i seguenti limiti superiori per G(k):

k	3	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
${\displaystyle G(k)\leq }$	7	17	21	33	42	50	59	67	76	84	92	100	109	117	125	134	142

G(3) è almeno 4, poiché i cubi sono congrui a 0, 1 o -1 modulo 9; 1290740 è il più grande numero minore di ${\displaystyle 1,3\cdot 10^{9}}$ che richiede sei cubi, e il numero di interi tra N e 2N decresce con sufficiente velocità all'aumentare di N che si pensa che sia G(3)=4; il più grande numero noto che non è la somma di quattro cubi è 7373170279850 ^[7], e ci sono ragioni per affermare che è il più grande esistente.

13792 è il più grande numero che richiede 17 quarte potenze (Deshouillers, Hennecart e Landreau hanno dimostrato nel 2000 ^[8] che ogni numero tra 13793 e 10²⁴⁵ ne richiede al massimo sedici, e Kawada, Wooley e Deshouillers hanno esteso il risultato di Davenport del 1939 mostrando che ogni numero oltre 10²²⁰ ne richiede al massimo sedici). Inoltre sedici potenze sono sempre necessarie per rappresentare i numeri nella forma ${\displaystyle 16^{n}\cdot 31}$.

617597724 è il più grande numero minore di ${\displaystyle 1,3\cdot 10^{9}}$ che richiede dieci quinte potenze, e 51033617 l'ultimo in questo intervallo che ne richiede 11.

• Teoria analitica dei numeri

• (EN) William L. Hosch, Waring’s problem, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
• (EN) Eric W. Weisstein, Problema di Waring, su MathWorld, Wolfram Research.

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