Profondità (algebra)

In algebra commutativa, la profondità (o grado) di un modulo è un invariante usato specialmente nello studio degli anelli noetheriani. In particolare, è usato per definire gli anelli di Cohen-Macaulay.

Sia ${\displaystyle I}$ un ideale di un anello commutativo unitario ${\displaystyle A}$ e sia ${\displaystyle M}$ un ${\displaystyle A}$-modulo tale che ${\displaystyle IM\neq M}$. Una successione ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$ di elementi di ${\displaystyle I}$ è una ${\displaystyle I}$-successione regolare di ${\displaystyle M}$ se, per ogni ${\displaystyle i}$ compreso tra ${\displaystyle 1}$ ed ${\displaystyle n}$ l'elemento ${\displaystyle a_{i}}$ non è un divisore dello zero del modulo ${\displaystyle M/(a_{1},\ldots ,a_{i-1})M}$.

In generale, la permutazione di una successione regolare non è una successione regolare; ad esempio, se ${\displaystyle K}$ è un campo e ${\displaystyle A=M=K[x,y,z]}$ è l'anello dei polinomi in tre indeterminate, allora ${\displaystyle (x-1)y,x,(x-1)z}$ è una successione regolare, ma non lo è ${\displaystyle (x-1)y,(x-1)z,x}$, in quanto ${\displaystyle (x-1)z}$ è un divisore dello zero di ${\displaystyle A/(x-1)yA}$. Se ${\displaystyle A}$ è noetheriano, una condizione sufficiente perché ogni permutazione di una permutazione regolare sia ancora una successione regolare è che l'ideale ${\displaystyle I}$ sia contenuto nel radicale di Jacobson; in particolare, questo avviene se ${\displaystyle A}$ è un anello locale.

Una ${\displaystyle I}$-successione regolare ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$ è massimale se non può essere ulteriormente allungata, ovvero se tutti gli elementi di ${\displaystyle A}$ sono divisori dello zero di ${\displaystyle M/(a_{1},\ldots ,a_{n})M}$. In generale, due successioni regolari massimali possono avere lunghezze diverse; questo non avviene però se ${\displaystyle A}$ è un anello noetheriano e ${\displaystyle M}$ è un ${\displaystyle A}$-modulo finitamente generato.

Sia ${\displaystyle I}$ un ideale di un anello commutativo unitario ${\displaystyle A}$ e sia ${\displaystyle M}$ un ${\displaystyle A}$-modulo tale che ${\displaystyle IM\neq M}$. La profondità di ${\displaystyle M}$ rispetto ad ${\displaystyle I}$ è la massima lunghezza di una ${\displaystyle I}$-successione regolare di ${\displaystyle M}$; se non vi sono ${\displaystyle I}$-successioni regolari, la profondità è 0, mentre se vi sono successioni arbitrariamente lunghe, o successioni infinite, la profondità è infinita. Viene indicata con ${\displaystyle \mathrm {depth} _{I}(M)}$ (dall'inglese depth = profondità).

Se ${\displaystyle M=A}$, allora ${\displaystyle \mathrm {depth} _{I}(A)}$ è indicato anche come ${\displaystyle \mathrm {depth} (I)}$ ed è detto la profondità di ${\displaystyle I}$. Se inoltre ${\displaystyle A}$ è un anello locale con ideale massimale ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$, allora ${\displaystyle \mathrm {depth} ({\mathfrak {m}})}$ è chiamato profondità di ${\displaystyle A}$, ed è indicato con ${\displaystyle \mathrm {depth} (A)}$.

Nel caso degli anello noetheriani locali, una definizione equivalente può essere data attraverso l'algebra omologica: la ${\displaystyle I}$-profondità di ${\displaystyle M}$ è il minimo intero ${\displaystyle i}$ tale che ${\displaystyle \operatorname {Ext} ^{i}(R/I,M)\neq 0}$ (dove ${\displaystyle \operatorname {Ext} }$ indica il funtore Ext).

Un modulo ${\displaystyle M}$ ha profondità 0 rispetto ad ${\displaystyle I}$ se e solo se ${\displaystyle I}$ è contenuto nell'insieme dei divisori dello zero di ${\displaystyle M}$; in particolare, ${\displaystyle \mathrm {depth} (I)=0}$ se e solo se tutti gli elementi di ${\displaystyle I}$ sono divisori dello zero. Di conseguenza, se ${\displaystyle A}$ è un dominio d'integrità allora tutti gli ideali non nulli (e, quindi, l'anello stesso) hanno profondità positiva.

Quando l'anello è noetheriano, si può legare la profondità di un ideale ad altre sue caratteristiche. In questo caso, la profondità di un ideale ${\displaystyle I}$ è uguale a quella del suo radicale, ed esiste sempre un ideale primo contenente ${\displaystyle I}$ che ha la stessa profondità di ${\displaystyle I}$. Questo permette, procedendo per induzione, di dimostrare che la profondità di ${\displaystyle I}$ è sempre minore o uguale della sua altezza. Un anello noetheriano tale che ${\displaystyle \mathrm {depth} (I)=h(I)}$ per ogni ideale ${\displaystyle I}$ è detto anello di Cohen-Macaulay.

Sempre nel caso noetheriano, la profondità di un modulo finitamente generato ${\displaystyle M}$ rispetto ad un ideale ${\displaystyle I}$ è sempre minore o uguale del numero di elementi necessari a generare ${\displaystyle I}$. Se inoltre ${\displaystyle I=(a_{1},\ldots ,a_{n})}$ è contenuto nel radicale di Jacobson di ${\displaystyle A}$, allora ${\displaystyle \mathrm {depth} _{I}(M)=n}$ se e solo se ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$ è una successione regolare. Questi due risultati sono noti come teoremi di unmixedness.

È anche possibile legare la profondità di un modulo con quella delle sue localizzazioni. Infatti, se ${\displaystyle S}$ è una parte moltiplicativa di ${\displaystyle A}$, allora una successione regolare ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$ di ${\displaystyle M}$ è anche una successione regolare di ${\displaystyle S^{-1}M}$, purché ${\displaystyle (a_{1},\ldots ,a_{n})S^{-1}M\neq S^{-1}M}$. In particolare, se ${\displaystyle S^{-1}IM\neq S^{-1}M}$, allora ${\displaystyle \mathrm {depth} _{I}(M)\leq \mathrm {depth} _{S^{-1}I}(S^{-1}M)}$, e dunque ${\displaystyle \mathrm {depth} (I)\leq \mathrm {depth} (S^{-1}I)}$. Se ${\displaystyle A}$ è noetheriano, per ogni ideale ${\displaystyle I}$ esiste sempre un ideale massimale ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ che contiene ${\displaystyle I}$ tale che ${\displaystyle \mathrm {depth} (I)=\mathrm {depth} (I_{\mathfrak {m}})}$. In particolare, la profondità di ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ è uguale alla profondità dell'ideale massimale di ${\displaystyle A_{\mathfrak {m}}}$.

Un'importante proprietà della profondità è espressa dalla formula di Auslander-Buchsbaum, che afferma che, se ${\displaystyle A}$ è un anello locale noetheriano ed ${\displaystyle M}$ è un ${\displaystyle A}$-modulo finitamente generato e di dimensione proiettiva ${\displaystyle \mathrm {pd} _{A}(M)}$ finita, allora

${\displaystyle \mathrm {pd} _{A}(M)+\mathrm {depth} (M)=\mathrm {depth} (A)}$.

• (EN) David Eisenbud, Commutative algebra with a view toward algebraic geometry, Springer-Verlag, 1995, ISBN 0-387-94268-8.
• Irving Kaplansky, Commutative rings, The University of Chicago Press, 1974, ISBN 0-226-42454-5.

• (EN) Profondità, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.

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