Quadrica

In matematica, e in particolare in geometria, una quadrica (o superficie quadrica) è una (iper-)superficie di uno spazio n-dimensionale sui complessi o sui reali rappresentata da un'equazione polinomiale del secondo ordine nelle variabili spaziali (coordinate). Se le coordinate spaziali sono , allora la generale quadrica nello spazio (o ) è definita da un'equazione della forma

dove è una matrice (non nulla), un vettore e una costante.

Un punto qualsiasi di una superficie quadrica si definisce iperbolico, parabolico o ellittico a seconda che il piano tangente alla superficie in quel punto tagli la quadrica in due rette reali e distinte, coincidenti o immaginarie coniugate. I punti di una quadrica sono tutti dello stesso tipo, cioè o tutti iperbolici o tutti parabolici o tutti ellittici. Tale caratteristica dipende solo dal segno del determinante della quadrica (invariante nei sistemi di riferimento cartesiani ortogonali) e viene spesso posta in evidenza come aggettivo della quadrica (ad esempio, iperboloide iperbolico).

Attraverso traslazioni e rotazioni ogni quadrica può essere trasformata in una forma "normalizzata", sensibilmente più semplice di quella generale. Ad esempio, l'equazione normalizzata di molte quadriche nello spazio a tre dimensioni () è:

Nello spazio euclideo tridimensionale ogni quadrica può essere scritta in una delle seguenti 9 forme normalizzate:

Quadriche non degeneri
Ellissoide Ellissoide scaleno
Sferoide prolato
Sferoide oblato
Sfera
Paraboloide Paraboloide ellittico
Paraboloide circolare
Paraboloide iperbolico
Iperboloide Iperboloide ad una falda (iperboloide iperbolico)
Iperboloide a due falde (iperboloide ellittico)
Quadriche degeneri
Cono (a due falde)
Cilindro Cilindro ellittico
Cilindro circolare
Cilindro parabolico
Cilindro iperbolico

Nello spazio proiettivo reale, a meno di una trasformazione proiettiva ci sono tre classi di equivalenza di quadriche:

  • il cono, il cilindro e le altre quadriche "degeneri", cioè con curvatura gaussiana zero, sono tra loro equivalenti;
  • i due paraboloidi iperbolici e le superfici rigate sono tra loro equivalenti;
  • l'ellissoide, il paraboloide ellittico, l'iperboloide a due falde e le rimanenti quadriche sono tra loro equivalenti.

Nello spazio proiettivo complesso tutte le quadriche non degeneri sono tra loro equivalenti, a meno di trasformazioni proiettive.

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