Sequenza di Farey

In matematica, la sequenza di Farey ${\displaystyle F_{n}}$ è una sequenza, per ogni numero naturale positivo ${\displaystyle n}$, definita come l'insieme ordinato secondo l'ordine crescente di tutti i numeri razionali irriducibili (cioè tali che numeratore e denominatore siano coprimi) espressi sotto forma di frazione con numeratore e denominatore compresi tra zero e ${\displaystyle n}$. Ad esempio

${\displaystyle F_{1}=\left\{{\frac {0}{1}};{\frac {1}{1}}\right\}}$

${\displaystyle F_{2}=\left\{{\frac {0}{1}};{\frac {1}{2}};{\frac {1}{1}}\right\}}$

${\displaystyle F_{3}=\left\{{\frac {0}{1}};{\frac {1}{3}};{\frac {1}{2}};{\frac {2}{3}};{\frac {1}{1}}\right\}}$

${\displaystyle F_{4}=\left\{{\frac {0}{1}};{\frac {1}{4}};{\frac {1}{3}};{\frac {1}{2}};{\frac {2}{3}};{\frac {3}{4}};{\frac {1}{1}}\right\}}$

${\displaystyle F_{5}=\left\{{\frac {0}{1}};{\frac {1}{5}};{\frac {1}{4}};{\frac {1}{3}};{\frac {2}{5}};{\frac {1}{2}};{\frac {3}{5}};{\frac {2}{3}};{\frac {3}{4}};{\frac {4}{5}};{\frac {1}{1}}\right\}}$

Per i numeratori, sequenza A006842 dell'OEIS, sequenza A006843 per i denominatori.

• Ciascuna sequenza ha un numero dispari di termini, per ogni ${\displaystyle n>1}$, e il termine centrale è sempre ${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$.

• Ciascuna sequenza è "simmetrica" rispetto al termine centrale ${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$: per ogni termine ${\displaystyle {\frac {n}{d}}}$ della sequenza ne esiste anche uno pari a ${\displaystyle {\frac {d-n}{d}}}$

• Dati due termini consecutivi di una sequenza ${\displaystyle {\frac {p_{i}}{q_{i}}},{\frac {p_{i+1}}{q_{i+1}}}}$ abbiamo che

${\displaystyle p_{i+1}\cdot q_{i}-p_{i}\cdot q_{i+1}=1}$

• Dati tre termini consecutivi di una sequenza ${\displaystyle {\frac {p_{i-1}}{q_{i-1}}},{\frac {p_{i}}{q_{i}}},{\frac {p_{i+1}}{q_{i+1}}}}$ abbiamo che

${\displaystyle {\frac {p_{i}}{q_{i}}}={\frac {(p_{i-1}+p_{i+1})}{(q_{i-1}+q_{i+1})}}\,}$

Di conseguenza, data la successione ${\displaystyle F_{n}}$, il primo termine a comparire tra due generici ${\displaystyle {\frac {a}{c}}}$ e ${\displaystyle {\frac {b}{d}}}$in una sequenza ${\displaystyle F_{m}}$, con ${\displaystyle m>n}$, è la frazione mediana

${\displaystyle {\frac {a+b}{c+d}}}$

• Definito come ${\displaystyle N(n)\,}$ il numero di termini della sequenza di Farey ${\displaystyle F_{n}\,}$, abbiamo che

${\displaystyle N(n)=1+\sum _{k=1}^{n}\phi (k)\,}$

Dove ${\displaystyle \phi (k)\,}$ è la funzione phi di Eulero.

• John Farey
• Frazione (matematica)

• Wikimedia Commons contiene immagini o altri file su Sequenza di Farey

• (EN) Eric W. Weisstein, Sequenza di Farey, su MathWorld, Wolfram Research.

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