Teorema di Hamilton-Cayley

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In algebra lineare, il teorema di Hamilton-Cayley, il cui nome è dovuto a William Rowan Hamilton e Arthur Cayley, asserisce che ogni applicazione lineare di uno spazio vettoriale di dimensione finita su un campo ${\displaystyle K}$ in sé stesso (o equivalentemente ogni matrice quadrata) è una radice del suo polinomio caratteristico, visto come polinomio a coefficienti in ${\displaystyle K}$ valutabile sull'algebra degli endomorfismi (o delle matrici quadrate).

Più precisamente, se ${\displaystyle A}$ è la trasformazione lineare nello spazio ${\displaystyle n}$-dimensionale (o, equivalentemente, una matrice ${\displaystyle n\times n}$) e ${\displaystyle I_{n}}$ è l'operatore identità (o, equivalentemente, la matrice identità), allora vale:

${\displaystyle (-1)^{n}A^{n}+(-1)^{n-1}\mathrm {tr} (A)A^{n-1}+\ldots +\det(A)I_{n}=0.}$

Questo risultato implica che il polinomio minimo divide il polinomio caratteristico, ed è quindi utile per trovare la forma canonica di Jordan di una applicazione o matrice. Inoltre, rende effettuabile analiticamente il calcolo di qualsiasi funzione di matrice. Il teorema di Hamilton–Cayley vale anche per matrici quadrate su anelli commutativi.

Un endomorfismo di uno spazio vettoriale ${\displaystyle V}$ su un campo ${\displaystyle K}$ è una trasformazione lineare ${\displaystyle T\colon V\to V}$. L'insieme degli endomorfismi su ${\displaystyle V}$, con le operazioni di addizione, moltiplicazione per scalare e composizione, è una ${\displaystyle K}$-algebra denotata con ${\displaystyle {\textrm {End}}_{K}(V)}$ o ${\displaystyle {\textrm {End}}(V)}$. Analogamente, le matrici quadrate di ordine ${\displaystyle n}$ a valori in ${\displaystyle K}$, con le operazioni di somma, prodotto per scalare e prodotto, formano una ${\displaystyle K}$-algebra denotata con ${\displaystyle M(n,K)}$ o ${\displaystyle M(n)}$.

Se ${\displaystyle V}$ ha dimensione ${\displaystyle n}$, considerando una base ${\displaystyle B}$ per ${\displaystyle V}$ si può associare a ogni endomorfismo di ${\displaystyle {\textrm {End}}_{K}(V)}$ una matrice di ${\displaystyle M(n,K)}$ tramite un isomorfismo.

Inoltre, considerando un polinomio ${\displaystyle p(x)}$ a coefficienti in ${\displaystyle K}$, se ${\displaystyle a}$ è un qualsiasi elemento di una ${\displaystyle K}$-algebra si definisce l'elemento ${\displaystyle p(a)}$ dell'algebra come quello ottenuto da ${\displaystyle a}$ tramite le operazioni prescritte da ${\displaystyle p}$ (somma, prodotto per scalare e prodotto fra elementi dell'algebra). In particolare, se ${\displaystyle T}$ è un endomorfismo allora ${\displaystyle p(T)}$ è un endomomorfismo, e se ${\displaystyle A}$ è una matrice allora ${\displaystyle p(A)}$ è una matrice.

Il teorema di Hamilton-Cayley asserisce che se ${\displaystyle f}$ è un endomorfismo di uno spazio vettoriale ${\displaystyle V}$ di dimensione finita e ${\displaystyle p(x)}$ è il suo polinomio caratteristico, allora ${\displaystyle p(f)=0}$.

Analogamente, se ${\displaystyle A}$ è una matrice quadrata e ${\displaystyle p(x)}$ il suo polinomio caratteristico, allora ${\displaystyle p(A)=0}$.

Si consideri un generico ${\displaystyle v\in V}$. Se ${\displaystyle v=0}$, allora è banale che ${\displaystyle p(f)(v)=0}$, essendo ${\displaystyle p(f)}$ un endomorfismo. Possiamo allora considerare ${\displaystyle v\neq 0}$. Prendiamo ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$ massimo tale che ${\displaystyle v,}$ ${\displaystyle f(v),}$ ${\displaystyle f^{2}(v),}$ ${\displaystyle \ldots ,}$ ${\displaystyle f^{k-1}(v)}$ siano linearmente indipendenti, cioè ${\displaystyle f^{k}(v)=a_{k}v+a_{k-1}f(v)+\ldots +a_{1}f^{k-1}(v)}$. Possiamo completare questo insieme di vettori ad una base di ${\displaystyle V}$, ${\displaystyle B=\{v,f(v),\ldots ,f^{k-1}(v),v_{1},\ldots ,v_{n}\}}$. La matrice associata ad ${\displaystyle f}$ rispetto a questa base sarà allora del tipo ${\displaystyle M_{B}(f)={\begin{bmatrix}A&D\\0&C\end{bmatrix}}}$ con

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}0&0&\dots &0&a_{k}\\1&0&\dots &0&a_{k-1}\\0&1&\dots &0&a_{k-2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&\dots &1&a_{1}\end{bmatrix}}.}$

La matrice ${\displaystyle M_{B}(f)}$ è triangolare a blocchi, dunque il suo polinomio caratteristico è

${\displaystyle p_{M_{B}(f)}(t)=p_{C}(t)p_{A}(t)=p_{C}(t)(-1)^{k}(t^{k}-a_{1}t^{k-1}-\ldots -a_{k}),}$

da cui

${\displaystyle p_{M_{B}(f)}(f)=p_{C}(f)(-1)^{k}(f^{k}-a_{1}f^{k-1}-\ldots -a_{k}).}$

Applicando questo endomorfismo a ${\displaystyle v}$, otteniamo

${\displaystyle p_{M_{B}(f)}(f)(v)=p_{C}(f)(-1)^{k}(f^{k}(v)-a_{1}f^{k-1}(v)-\ldots -a_{k}v).}$

Ma per quanto visto, ${\displaystyle f^{k}(v)=a_{1}f^{k-1}(v)+\ldots +a_{k}v}$, dunque ${\displaystyle p_{M_{B}(f)}(f)(v)=0}$ e dalla generalità di ${\displaystyle v}$ segue la tesi.

Si consideri per esempio la matrice:

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}.}$

Il suo polinomio caratteristico è dato da:

${\displaystyle p(\lambda )=\det {\begin{bmatrix}1-\lambda &2\\3&4-\lambda \end{bmatrix}}=(1-\lambda )(4-\lambda )-2\cdot 3=\lambda ^{2}-5\lambda -2.}$

Il teorema di Cayley–Hamilton implica che:

${\displaystyle A^{2}-5A-2I_{2}=0,}$

il che si può facilmente verificare.

Lo stesso argomento in dettaglio: Polinomio minimo.

Il teorema introduce alla definizione di polinomio minimo, uno strumento molto potente per verificare se una matrice o applicazione è diagonalizzabile. Ad esempio, in questo modo si verifica rapidamente se una matrice ${\displaystyle A}$ che soddisfa alcune relazioni polinomiali, quali ${\displaystyle A^{2}=I_{n}}$ oppure ${\displaystyle A^{2}=A}$, è diagonalizzabile.

Il teorema permette di calcolare potenze di matrici ad esponente intero più semplicemente che con la moltiplicazione diretta, mentre per il calcolo di potenze ad esponente arbitrario è necessario fare leva anche sulla teoria della funzione di matrice. Ad esempio, usando il risultato precedente:

${\displaystyle A^{2}-5A-2I_{2}=0,}$

${\displaystyle A^{2}=5A+2I_{2},}$

si può calcolare ${\displaystyle A^{4}}$ nel modo seguente:

${\displaystyle A^{3}=(5A+2I_{2})A=5A^{2}+2A=5(5A+2I_{2})+2A=27A+10I_{2},}$

${\displaystyle A^{4}=A^{3}A=(27A+10I_{2})A=27A^{2}+10A=27(5A+2I_{2})+10A,}$

${\displaystyle A^{4}=145A+54I_{2}.}$

Analogamente:

${\displaystyle A^{-1}=A^{-1}I_{2}=A^{-1}{\frac {A^{2}-5A}{2}}={\frac {A-5I_{2}}{2}},}$

${\displaystyle A^{-2}=A^{-1}A^{-1}={\frac {A^{2}-10A+25I_{2}}{4}}={\frac {(5A+2I_{2})-10A+25I_{2}}{4}}={\frac {-5A+27I_{2}}{4}}.}$

Si fornisce una dimostrazione analitica nel caso in cui ${\displaystyle K}$ sia il campo dei numeri reali o complessi: sia ${\displaystyle A}$ una matrice quadrata con ${\displaystyle n}$ righe. Si supponga inizialmente che ${\displaystyle A}$ sia diagonalizzabile sul campo dei numeri complessi. Quindi ${\displaystyle A}$ è simile a ${\displaystyle D}$ diagonale, in altre parole esiste una matrice invertibile ${\displaystyle M}$ tale che:

${\displaystyle A=M^{-1}DM.}$

Le matrici ${\displaystyle D}$ e ${\displaystyle A}$ hanno lo stesso polinomio caratteristico, che si fattorizza come:

${\displaystyle p(x)=(\lambda _{1}-x)\cdots (\lambda _{n}-x),}$

dove ${\displaystyle \lambda _{1},\dots ,\lambda _{n}}$ sono gli autovalori di ${\displaystyle A}$ (con molteplicità), presenti sulla diagonale di ${\displaystyle D}$. Qui è facile verificare che ${\displaystyle p(D)}$ è il prodotto di matrici diagonali con zeri che variano sulla diagonale, e perciò è la matrice nulla. D'altra parte, si verifica che:

${\displaystyle p(A)=p(M^{-1}DM)=M^{-1}p(D)M=M^{-1}0M=0.}$

Si è dimostrato il teorema per le matrici diagonalizzabili. L'insieme delle matrici diagonalizzabili su ${\displaystyle \mathbb {C} }$ formano un insieme denso nello spazio topologico delle matrici ${\displaystyle n\times n}$ in ${\displaystyle \mathbb {C} }$. La funzione che associa ad una matrice ${\displaystyle A}$ la matrice ${\displaystyle P(A)}$ è continua. Una funzione continua che vale sempre zero su un denso vale zero ovunque, da cui la tesi.

Nel caso di matrici su un campo ${\displaystyle K}$ qualsiasi, si può ottenere una dimostrazione secondo la traccia seguente. Si estende per cominciare ${\displaystyle K}$ alla sua chiusura algebrica ${\displaystyle F}$. In ${\displaystyle F}$ la matrice ${\displaystyle A}$ ha dunque ${\displaystyle n}$ autovalori (contando le molteplicità), e può quindi essere messa in forma triangolare. Ora per le matrici triangolari il teorema è facilmente verificato, in modo simile a quanto appena visto per le matrici diagonali.

• Polinomio caratteristico
• Polinomio minimo
• Forma canonica di Jordan
• Funzione di matrice

• (EN) Eric W. Weisstein, Teorema di Hamilton-Cayley, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Teorema di Hamilton-Cayley, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.

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