Trapezio

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In geometria, un trapezio è un quadrilatero con due lati paralleli.

Facendo riferimento alla figura a fianco del teorema, i due lati paralleli ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle c}$ sono detti basi del trapezio, rispettivamente "base maggiore" e "base minore", mentre gli altri due lati ${\displaystyle b}$ e ${\displaystyle d}$ sono detti lati obliqui del trapezio.

La distanza ${\displaystyle h}$ fra i due lati paralleli, lunghezza di ogni segmento ortogonale che collega le basi o i loro prolungamenti, fornisce l'altezza del trapezio.

Nel caso particolare in cui anche i due lati obliqui siano paralleli si ha un parallelogramma. Se poi ha pure gli angoli retti si ha un rettangolo; se invece ha tutti i lati lunghi uguali si ha il rombo; se ha entrambe queste caratteristiche si ha il quadrato. Tutte queste figure sono trapezi, poiché hanno una coppia di lati paralleli.

Se i lati obliqui non sono paralleli, essi possono essere prolungati fino ad incontrarsi in un punto, in modo da formare un triangolo che contiene il trapezio: questo è il più piccolo triangolo circoscritto al trapezio che contiene il trapezio stesso ed è unico.

1. Un quadrilatero è un trapezio se e solo se i due angoli adiacenti ad un lato obliquo sono supplementari, tali cioè che la somma delle loro ampiezze equivalga a 180°. In questo caso anche i due angoli rimanenti sono supplementari. Tradotto in formule:

   ${\displaystyle \alpha }$ + ${\displaystyle \delta }$ = 180°

   ${\displaystyle \beta }$ + ${\displaystyle \gamma }$ = 180°

2. Consideriamo il quadrilatero ${\displaystyle ABCD}$ e denotiamo con ${\displaystyle AB}$ e ${\displaystyle DC}$ i suoi lati paralleli; denotiamo inoltre con ${\displaystyle M}$ il punto in cui si intersecano le due diagonali ${\displaystyle AC}$ e ${\displaystyle DB}$. Tale quadrilatero è un trapezio se e solo se

   ${\displaystyle {\overline {AM}}:{\overline {CM}}={\overline {BM}}:{\overline {DM}},}$

   o equivalentemente se e solo se i triangoli ${\displaystyle ABM}$ e ${\displaystyle CDM}$ sono simili.

L'area ${\displaystyle A}$ del trapezio si può calcolare facendo la somma delle basi per l'altezza il tutto diviso due.

${\displaystyle A={\frac {h\cdot (B+b)}{2}}}$

Tale formula può essere spiegata se si fa riferimento alla figura a fianco: se al trapezio originario si affianca un altro trapezio ad esso congruente ottenuto tramite una rotazione di un angolo piatto, si nota che la figura così ottenuta è un parallelogramma la cui area è data dal prodotto della somma delle basi per l'altezza. Poiché essa è il doppio di quella voluta, ossia di quella del trapezio, ne va presa la metà.

Si definisce trapezio rettangolo un trapezio nel quale i due angoli adiacenti ad un lato obliquo sono angoli congruenti e quindi retti, poiché sono supplementari. Un trapezio, dunque, è rettangolo se e solo se ha un lato obliquo perpendicolare alle basi.

Si definisce trapezio isoscele un trapezio nel quale i due angoli adiacenti ad una base siano congruenti. Di conseguenza i lati obliqui sono anch'essi congruenti.

Si definisce trapezio ottusangolo un trapezio che presenta un angolo ottuso adiacente alla base di lunghezza maggiore. Un trapezio è ottusangolo se e solo se il corrispondente triangolo circoscritto è un triangolo ottusangolo. Un trapezio ottusangolo non può essere isoscele ma può essere scaleno.

Si definisce trapezio scaleno un trapezio con i lati di diversa lunghezza e gli angoli di diversa ampiezza: può essere fatto derivare dall'intersezione di un rettangolo con un triangolo scaleno. Alcune fonti^[1] definiscono il trapezio scaleno richiedendo solamente che i lati obliqui siano diversi fra loro.

Talvolta viene impropriamente usato il termine trapezoide al posto di trapezio: tale uso improprio sembra derivare dal fatto che in negli Stati Uniti e in Canada il trapezio viene chiamato trapezoid (a differenza della Gran Bretagna dove viene chiamato trapezium).

Il termine appropriato è invece trapezio: infatti in italiano con "trapezoide" si intende, più genericamente, un semplice quadrilatero.

Con il termine trapezoide si intende anche un trapezio il cui lato obliquo è una curva; è utilizzato nelle funzioni.

• Regola del trapezio
• Formule di Newton-Cotes

• Wikizionario contiene il lemma di dizionario «trapezio»
• Wikimedia Commons contiene immagini o altri file sul trapezio

• (EN) Eric W. Weisstein, Trapezio, su MathWorld, Wolfram Research.

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