Trapezio

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In geometria, un trapezio è un quadrilatero con due lati paralleli.

Facendo riferimento alla figura a fianco del teorema, i due lati paralleli ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle c}$ sono detti basi del trapezio, rispettivamente base maggiore e base minore, mentre gli altri due lati, ${\displaystyle b}$ e ${\displaystyle d}$, sono detti lati obliqui del trapezio.

La distanza ${\displaystyle h}$ fra i due lati paralleli, lunghezza di ogni segmento ortogonale che collega le basi o i loro prolungamenti, fornisce l'altezza del trapezio.

Nel caso particolare in cui anche i due lati obliqui siano paralleli tra loro si ha un parallelogramma. Se poi gli angoli sono retti si ha un rettangolo; se, invece, i lati hanno tutti la stessa lunghezza si ha un rombo; se ha entrambe queste caratteristiche si ha un quadrato. Tutte queste figure sono trapezi, poiché hanno una coppia di lati paralleli.

Se i lati obliqui non sono paralleli, essi, prolungati, si incontrano in un punto, si forma così un triangolo contenente il trapezio di partenza: questo è unico ed è il più piccolo triangolo circoscritto al trapezio che contiene il trapezio stesso.

1. Un quadrilatero è un trapezio se e solo se i due angoli adiacenti ad un lato obliquo sono supplementari, cioè la loro somma equivale ad un angolo piatto, cioè di 180°. In questo caso anche i due angoli rimanenti sono supplementari, poiché la somma degli angoli interni di un quadrilatero è un angolo giro, 360°. Tradotto in formule:

   ${\displaystyle \alpha +\delta =180^{\circ };}$

   ${\displaystyle \beta +\gamma =180^{\circ }.}$

2. Consideriamo il quadrilatero ${\displaystyle ABCD}$ e denotiamo con ${\displaystyle AB}$ e ${\displaystyle DC}$ i suoi lati paralleli; denotiamo inoltre con ${\displaystyle M}$ il punto in cui si intersecano le due diagonali ${\displaystyle AC}$ e ${\displaystyle DB}$. Tale quadrilatero è un trapezio se e solo se

   ${\displaystyle {\overline {AM}}:{\overline {CM}}={\overline {BM}}:{\overline {DM}},}$

   o equivalentemente se e solo se i triangoli ${\displaystyle ABM}$ e ${\displaystyle CDM}$ sono simili.

L'area ${\displaystyle A}$ del trapezio è la somma delle basi per l'altezza diviso due; in formule:

${\displaystyle A={\frac {(a+c)h}{2}}.}$

Tale formula può essere spiegata se si fa riferimento alla figura a fianco: se al trapezio originario si affianca un altro trapezio ad esso congruente ottenuto tramite una rotazione di un angolo piatto, si nota che la figura così ottenuta è un parallelogramma la cui area è data dal prodotto della somma delle basi per l'altezza. Poiché essa è il doppio di quella voluta, ossia di quella del trapezio, ne va presa la metà.

Tale formula può essere intesa anche come la semisomma (o media) delle basi moltiplicata per l'altezza.

Si definisce trapezio rettangolo un trapezio nel quale i due angoli adiacenti ad un lato obliquo sono angoli congruenti e quindi retti, poiché sono supplementari. Un trapezio, dunque, è rettangolo se e solo se ha un lato obliquo perpendicolare alle basi.

Si definisce trapezio isoscele un trapezio nel quale i due angoli adiacenti ad una base siano congruenti. Di conseguenza i lati obliqui sono anch'essi congruenti.

Si definisce trapezio ottusangolo un trapezio che presenta un angolo ottuso adiacente alla base di lunghezza maggiore. Un trapezio è ottusangolo se e solo se il corrispondente triangolo circoscritto è un triangolo ottusangolo. Un trapezio ottusangolo non può essere isoscele ma può essere scaleno.

Si definisce trapezio scaleno un trapezio con tutti i lati di diversa lunghezza e tutti gli angoli di diversa ampiezza. Può essere visto come l'intersezione di un rettangolo con un triangolo scaleno. Alcune fonti^[1] definiscono il trapezio scaleno richiedendo solamente che i lati obliqui siano diversi fra loro, senza richiedere la diversità degli angoli.

Talvolta viene impropriamente usato il termine trapezoide al posto di trapezio: tale uso improprio sembra derivare dal fatto che negli Stati Uniti e in Canada il trapezio viene chiamato trapezoid (a differenza della Gran Bretagna dove viene chiamato trapezium).

Il termine appropriato è invece trapezio: infatti in italiano con trapezoide si intende, più genericamente, un semplice quadrilatero.

Con il termine trapezoide si intende anche un trapezio il cui lato obliquo è una curva; è utilizzato nelle funzioni.

• Wikizionario contiene il lemma di dizionario «trapezio»
• Wikimedia Commons contiene immagini o altri file sul trapezio

• (EN) Eric W. Weisstein, Trapezio, su MathWorld, Wolfram Research.

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