アンサンブルカルマンフィルタ

アンサンブルカルマンフィルタ（Ensemble Kalman Filter；EnKF）とは、逐次型データ同化手法の一つである。シミュレーションモデル内の状態を表す確率変数について、その分布を実現値集合（アンサンブルと称す）によって保持し、観測を得るごとに、観測モデルをもとにしたカルマンフィルターによる推定により、2次モーメントまでが一致するよう、アンサンブルを修正することを繰り返す方法である。

まず、時刻kにおけるシミュレーションモデル（状態方程式）は以下である。

${\displaystyle {\boldsymbol {x}}_{k}={\boldsymbol {f}}_{k}({\boldsymbol {x}}_{k-1},{\boldsymbol {v}}_{k})}$

ここで、${\displaystyle {\boldsymbol {x}}_{k}}$は状態ベクトル、${\displaystyle {\boldsymbol {v}}_{k}}$はシステムノイズである。

また、観測モデル（観測方程式）は、以下である。

${\displaystyle {\boldsymbol {y}}_{k}={\boldsymbol {h}}_{k}({\boldsymbol {x}}_{k},{\boldsymbol {w}}_{k})}$

ここで、${\displaystyle {\boldsymbol {y}}_{k}}$は観測ベクトル、${\displaystyle {\boldsymbol {w}}_{k}}$は観測ノイズである。

本項目では、以下の線形の観測モデルを考える。

${\displaystyle {\boldsymbol {y}}_{k}={\boldsymbol {H}}_{k}{\boldsymbol {x}}_{k}+{\boldsymbol {w}}_{k}}$

ここでN個のアンサンブル${\displaystyle \{{\boldsymbol {x}}_{k-1\mid k-1}\}_{i=1}^{N}}$を考えたとき、条件付き分布pを以下のように${\displaystyle \delta }$関数を用いて近似する。

${\displaystyle \ p({\boldsymbol {x}}_{k}\mid {\boldsymbol {y}}_{1:k-1})\cong {\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\delta ({\boldsymbol {x}}_{k}-{\boldsymbol {x}}_{k\mid k-1}^{(i)})}$

${\displaystyle \ p({\boldsymbol {x}}_{k}\mid {\boldsymbol {y}}_{1:k})\cong {\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\delta ({\boldsymbol {x}}_{k}-{\boldsymbol {x}}_{k\mid k}^{(i)})}$

アンサンブルカルマンフィルタの解析は、予測（prediction）、濾波（filtering）および平滑化（smoothing）の三つの推定問題に分類することができる。以下に三つの問題を示す。

アンサンブルメンバー${\displaystyle {\boldsymbol {x}}_{k-1\mid k-1}^{(i)}}$をシミュレーションモデルに基づいて更新し、予測分布のアンサンブルを得る。すなわち、以下の式が得られる。

${\displaystyle {\boldsymbol {x}}_{k\mid k-1}^{(i)}={\boldsymbol {f}}_{k}({\boldsymbol {x}}_{k-1\mid k-1}^{(i)},{\boldsymbol {v}}_{k}^{(i)})}$

${\displaystyle {\boldsymbol {x'}}_{k\mid k-1}^{(i)}={\boldsymbol {x}}_{k\mid k-1}^{(i)}-{\frac {1}{N}}\sum _{j=1}^{N}{\boldsymbol {x}}_{k\mid k-1}^{(j)}}$

${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {V}}}_{k\mid k-1}={\frac {1}{N-1}}\sum _{j=1}^{N}{{\boldsymbol {x'}}_{k\mid k-1}^{(j)}{\boldsymbol {x'}}_{k\mid k-1}^{(j)}}^{T}}$

${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {R}}}_{k}={\frac {1}{N-1}}\sum _{j=1}^{N}{{\boldsymbol {w}}_{k}^{(j)}{\boldsymbol {w}}_{k}^{(j)}}^{T}}$

次に、以下のカルマンゲインより、アンサンブルメンバーを得る。

${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {K}}}_{k}={\hat {\boldsymbol {V}}}_{k\mid k-1}{\boldsymbol {H}}_{k}^{T}({\boldsymbol {H}}_{k}{\hat {\boldsymbol {V}}}_{k\mid k-1}{\boldsymbol {H}}_{k}^{T}+{\hat {\boldsymbol {R}}}_{k})^{-1}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {x}}_{k\mid k}^{(i)}={\boldsymbol {x}}_{k\mid k-1}^{(i)}+{\hat {\boldsymbol {K}}}_{k}({\boldsymbol {y}}_{k}+{\boldsymbol {w}}_{k}^{(i)}-{\boldsymbol {H}}_{k}{\boldsymbol {x}}_{k\mid k-1}^{(i)})}$

以下のアンサンブルメンバーを得る。ここで、${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {J}}}_{k'\mid k}}$はカルマンゲインに相当する。

${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {J}}}_{k'\mid k}={\frac {1}{N-1}}(\sum _{i=1}^{N}({\boldsymbol {x}}_{k'\mid k-1}^{(i)}-{\hat {\boldsymbol {x}}}_{k'\mid k-1})({\boldsymbol {x}}_{k'\mid k-1}^{(i)}-{\hat {\boldsymbol {x}}}_{k'\mid k-1})^{T}){\boldsymbol {H}}_{k}^{T}({\boldsymbol {H}}_{k}{\hat {\boldsymbol {V}}}_{k\mid k-1}{\boldsymbol {H}}_{k}^{T}+{\hat {\boldsymbol {R}}}_{k})^{-1}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {x}}_{k'\mid k}^{(i)}={\boldsymbol {x}}_{k'\mid k-1}^{(i)}+{\hat {\boldsymbol {J}}}_{k'\mid k}({\boldsymbol {y}}_{k}+{\boldsymbol {w}}_{k}^{(i)}-{\boldsymbol {H}}_{k}{\boldsymbol {x}}_{k\mid k-1}^{(i)})}$

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• 三好建正；アンサンブル・カルマンフィルタ‐データ同化とアンサンブル予報の接点‐、天気、Vol.52、No.2、pp.93-104、2005.
• Evansen, G.: The ensemble Kalman filter : theoretical formulation and practical implementation, Ocean Dynamics, 53, pp.343-367, 2003.
• Hamill, T.M.: Ensemble-based atmospheric data assimilation, A tutorial, NOAA-CIRES Climate Diagnostics Center, pp.1-46, 2003.