コーシーの積分公式 （コーシーのせきぶんこうしき）は、コーシーの第2定理 、コーシーの積分表示 (英 : Cauchy's integral expression ) ともいわれ、オーギュスタン＝ルイ・コーシー によって示された、ガウス平面 上のある領域 において正則な関数 の周回積分 についての定理である。
D を単連結 領域 、C を D 内にある長さ を持つ単純閉曲線 、f (z ) を D 上の正則関数 とする。C によって囲まれる領域の任意の 1 点 a において、以下の式が成立する。
f ( a ) = 1 2 π i ∮ C f ( z ) z − a d z . {\displaystyle f(a)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}{\frac {f(z)}{z-a}}dz.} また、この式を用いて f (z ) の n 階複素導関数 を与えることができる。a を z に置き換えて、積分変数を ζ で置き換えると
f ( z ) = 1 2 π i ∮ C f ( ζ ) ζ − z d ζ . {\displaystyle f(z)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}{\frac {f(\zeta )}{\zeta -z}}d\zeta .} この式の両辺について、差分商 f ( z + h ) − f ( z ) h {\displaystyle {\frac {f(z+h)-f(z)}{h}}}
f ( n ) ( z ) = n ! 2 π i ∮ C f ( ζ ) ( ζ − z ) n + 1 d ζ {\displaystyle f^{(n)}(z)={\frac {n!}{2\pi i}}\oint _{C}{\frac {f(\zeta )}{(\zeta -z)^{n+1}}}d\zeta \ } 関数 g ( z ) = z 2 z 2 + 2 z + 2 {\displaystyle g(z)={\frac {z^{2}}{z^{2}+2z+2}}} 具体的な例として関数は
g ( z ) = z 2 z 2 + 2 z + 2 {\displaystyle g(z)={\frac {z^{2}}{z^{2}+2z+2}}} と経路C は|z | = 2(つまり半径2の円)とする。 関数g (z )について経路Cの積分を求めるため、g (z )の特異点を知る必要がある。 次のようにg (z )を書き換えることができることに注意して
g ( z ) = z 2 ( z − z 1 ) ( z − z 2 ) {\displaystyle g(z)={\frac {z^{2}}{(z-z_{1})(z-z_{2})}}} ここで z 1 = − 1 + i , {\displaystyle z_{1}=-1+i,} z 2 = − 1 − i . {\displaystyle z_{2}=-1-i.}
よって, g (z )は z 1 {\displaystyle z_{1}} z 2 {\displaystyle z_{2}} 絶対値 は2よりも小さいため、経路Cより内側にある。 この積分はコーシーの積分定理 により2つの積分に分割できる。
経路Cの積分はz 1 と z 2 の各極周囲の小さな円の経路積分の和で表される。 それぞれz 1 周囲の経路C 1 とz 2 周囲の経路C 2 と呼ぶ。これらのそれぞれ積分は、コーシー積分公式により解くことができるが、それらを公式が適用できるよう書き直す必要がある。
C 1 周囲の積分は、f 1 (z ) = (z − z 1 )g (z )により与えられる。 これは正則関数 である（経路内に他の特異点が含まれていないため）。 単純化するため f 1 を
f 1 ( z ) = z 2 z − z 2 {\displaystyle f_{1}(z)={\frac {z^{2}}{z-z_{2}}}} とすると、
g ( z ) = f 1 ( z ) z − z 1 . {\displaystyle g(z)={\frac {f_{1}(z)}{z-z_{1}}}.} コーシーの積分定理より
∮ C f 1 ( z ) z − a d z = 2 π i ⋅ f 1 ( a ) , {\displaystyle \oint _{C}{\frac {f_{1}(z)}{z-a}}\,dz=2\pi i\cdot f_{1}(a),} 積分を次のように評価できる。
∮ C 1 g ( z ) d z = ∮ C 1 f 1 ( z ) z − z 1 d z = 2 π i z 1 2 z 1 − z 2 . {\displaystyle \oint _{C_{1}}g(z)\,dz=\oint _{C_{1}}{\frac {f_{1}(z)}{z-z_{1}}}\,dz=2\pi i{\frac {z_{1}^{2}}{z_{1}-z_{2}}}.} もう一方の経路に対しても同様に行う。
f 2 ( z ) = z 2 z − z 1 , {\displaystyle f_{2}(z)={\frac {z^{2}}{z-z_{1}}},} ∮ C 2 g ( z ) d z = ∮ C 2 f 2 ( z ) z − z 2 d z = 2 π i z 2 2 z 2 − z 1 . {\displaystyle \oint _{C_{2}}g(z)\,dz=\oint _{C_{2}}{\frac {f_{2}(z)}{z-z_{2}}}\,dz=2\pi i{\frac {z_{2}^{2}}{z_{2}-z_{1}}}.} 元の経路C の積分は、これらの2つの積分の合計である。
∮ C g ( z ) d z = ∮ C 1 g ( z ) d z + ∮ C 2 g ( z ) d z = 2 π i ( z 1 2 z 1 − z 2 + z 2 2 z 2 − z 1 ) = 2 π i ( − 2 ) = − 4 π i . {\displaystyle {\begin{aligned}\oint _{C}g(z)\,dz&{}=\oint _{C_{1}}g(z)\,dz+\oint _{C_{2}}g(z)\,dz\\[.5em]&{}=2\pi i\left({\frac {z_{1}^{2}}{z_{1}-z_{2}}}+{\frac {z_{2}^{2}}{z_{2}-z_{1}}}\right)\\[.5em]&{}=2\pi i(-2)\\[.3em]&{}=-4\pi i.\end{aligned}}} 他の解法では部分分数分解 を使った初歩的な技法により積分が求められる。
∮ C g ( z ) d z = ∮ C ( 1 − 1 z − z 1 − 1 z − z 2 ) d z = 0 − 2 π i − 2 π i = − 4 π i {\displaystyle \oint _{C}g(z)\,dz=\oint _{C}\left(1-{\frac {1}{z-z_{1}}}-{\frac {1}{z-z_{2}}}\right)\,dz=0-2\pi i-2\pi i=-4\pi i} Ahlfors, Lars (1979), Complex analysis (3rd ed.), McGraw Hill, ISBN 978-0-07-000657-7 [1] [2] D. Pompeiu, Sur la continuité des fonctions de variables complexes , Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse Sér. 2, 7 no. 3 (1905), pp. 265–315Titchmarsh, E.C. (1939), Theory of functions (2nd ed.), Oxford University Press Hörmander, Lars (1966), An introduction to complex analysis in several variables , Van Nostrand Hörmander, Lars (1983), The Analysis of Linear Partial Differential Operators I , Springer, ISBN 3-540-12104-8 Doran, Chris; Lasenby, Anthony (2003), Geometric Algebra for Physicists , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-71595-9
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![{\displaystyle {\begin{aligned}\oint _{C}g(z)\,dz&{}=\oint _{C_{1}}g(z)\,dz+\oint _{C_{2}}g(z)\,dz\\[.5em]&{}=2\pi i\left({\frac {z_{1}^{2}}{z_{1}-z_{2}}}+{\frac {z_{2}^{2}}{z_{2}-z_{1}}}\right)\\[.5em]&{}=2\pi i(-2)\\[.3em]&{}=-4\pi i.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b9c7903019d4df4e582611b34645258bc49b532)
