テータ関数(テータかんすう、英: theta function)は、
![{\displaystyle \vartheta (z,\tau ):=\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{\pi in^{2}\tau +2\pi inz}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/440e78d10761a62bc77fda3197d31de960821f92)
で定義される関数のことである。それ以外にも、指標付きのテータ関数
、ヤコビのテータ関数、楕円テータ関数
と呼ばれる一連のテータ関数が存在する。 指標付きのテータ関数や楕円テータ関数は、その定義にいくつかの流儀があり、同じ記号を使いながら違ったものを指していることがあるので注意が必要である。 これらの関数は、z の関数と見た場合には擬二重周期を持ち楕円関数に関係し、τ の関数と見た場合はモジュラー形式に関係する。
テータ関数は次のように定義される関数のことを指す。
![{\displaystyle \vartheta (z,\tau ):=\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{\pi in^{2}\tau +2\pi inz}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/440e78d10761a62bc77fda3197d31de960821f92)
テータ関数を z の関数と見た場合、周期 1 の周期関数である。
![{\displaystyle \vartheta (z+1,\tau )=\vartheta (z,\tau ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22aa426f0fcd59e2fad02abc72b6f5b7f3c439ab)
一般には以下の等式を満たす。
![{\displaystyle \vartheta (z+m\tau +n,\tau )=e^{-\pi im^{2}\tau -2\pi imz}\vartheta (z,\tau ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/952ec0aff4b8503c8384068275c90b65855020a8)
ヤコビのテータ関数は狭義の意味では次の関数のことを指す。
![{\displaystyle {\begin{aligned}\Theta (u)&:=\left({\frac {2k'K}{\pi }}\right)^{1/2}\exp \left(\int _{0}^{u}\mathrm {d} t~Z(t)\right),\\\Theta _{1}(u)&:=\Theta (u+K).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fcafa699274d87ad9d06eae34bcf690e0fe4742f)
ただし、
は補母数、
は 第1種完全楕円積分、
はヤコビのツェータ関数
![{\displaystyle {\begin{aligned}Z(u)&:={\mathcal {E}}(u)-{\frac {E(k)u}{K(k)}},\\{\mathcal {E}}(u)&:=\int _{0}^{u}\mathrm {d} t\,\mathrm {dn} ^{2}t=\int _{0}^{\mathrm {sn} u}\mathrm {d} t{\sqrt {\frac {1-k^{2}t^{2}}{1-t^{2}}}}=\int _{0}^{\mathrm {am} u}\mathrm {d} \theta {\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f69ef0a0b064c302a131fa92c1e1aaaffc6bd59c)
はヤコビのイプシロン関数、
は第2種完全楕円積分、
,
は ヤコビの楕円関数、
は振幅関数である。
また、ヤコビのエータ関数
![{\displaystyle {\begin{aligned}H(u)&:=-i\exp \left((2u+iK')\pi i/(4K)\right)\Theta (u+iK'),\quad i:={\sqrt {-1\,}},\\H_{1}(u)&:=H(u+K),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74bb1670bc97d4604d3c41b762d0bc53b9a59b4b)
を含めて、
,
,
,
のことをヤコビのテータ関数と呼ぶこともある。ただし、
である。ヤコビのテータ関数は、後述の楕円テータ関数と以下の関係で結ばれている。
![{\displaystyle {\begin{aligned}\Theta (u)&=\vartheta _{0}(u/(2\omega _{1})),\quad \Theta _{1}(u)=\vartheta _{3}(u/(2\omega _{1})),\\H(u)&=\vartheta _{1}(u/(2\omega _{1}),\quad H_{1}(u)=\vartheta _{2}(u/(2\omega _{1})),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e8d2d4756bd719faac3ea286e4ed40c7ad3371a)
ただし、
は、楕円関数の基本周期の半分で、
である(
,
が楕円関数の基本周期に相当する)。
物理の教科書[7]では後述の
をヤコビのテータ関数と呼んでいるが、やや不正確な言い方である。
以下のように定義された、添え字を 2 つ持つテータ関数のことを指標付きのテータ関数と呼ぶ。
![{\displaystyle \vartheta _{a,b}(z,\tau ):=\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{\pi i(n+a)^{2}\tau +2\pi i(n+a)(z+b)},\quad a,b\in \mathbb {R} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4a4bb20bd368895e5d04ae73fa4cc52e6916154)
なお、指標付きのテータ関数の定義には 2 つの流儀があって統一的に用いられていないため、文献を読むときには注意しなければならない 。 この記事で使われているのは、Mumford 2006 で使われているのと同じ定義である。
楕円テータ関数(だえんテータかんすう、英: elliptic theta function)は、以下のように定義された関数である。 ただし、
,
である。
![{\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta _{1}(v,\tau )&:=-\vartheta _{11}(v,\tau )=-\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{\pi i\tau \left(n+{\frac {1}{2}}\right)^{2}+2\pi i\left(n+{\frac {1}{2}}\right)\left(v+{\frac {1}{2}}\right)}\\&=2\sum _{n=0}^{\infty }{(-1)^{n}q^{{\left(n+{\frac {1}{2}}\right)}^{2}}\sin(2n+1)\pi v},\\\vartheta _{2}(v,\tau )&:=\vartheta _{10}(v,\tau )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{\pi i\tau \left(n+{\frac {1}{2}}\right)^{2}+2\pi i\left(n+{\frac {1}{2}}\right)v}\\&=2\sum _{n=0}^{\infty }q^{{\left(n+{\frac {1}{2}}\right)}^{2}}\cos(2n+1)\pi v,\\\vartheta _{3}(v,\tau )&:=\vartheta _{00}(v,\tau )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{i\pi \tau n^{2}+2\pi inv}\\&=1+2\sum _{n=1}^{\infty }q^{n^{2}}\cos 2n\pi v,\\\vartheta _{4}(v,\tau )&:=\vartheta _{01}(v,\tau )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{\pi i\tau n^{2}+2\pi in\left(v+{\frac {1}{2}}\right)}\\&=1+2\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}q^{n^{2}}\cos 2n\pi v,\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16fc3993c43cdd48d210f447849d23e7d51a293f)
楕円テータ関数にも定義に 2 つの流儀があり、注意が必要である。 フルヴィッツ・クーランの「楕円関数論」の定義では添え字が 1 から 4 ではなく、 0 から 3 である。 その場合は
,
,
の定義は変わらず、
で定義される。 文脈から v あるいは τ が明らかな場合は
あるいは
と書き、更に
と書く。Mathematica では、
のことを v と書いている。
テータ関数は擬二重周期を持つ。
![{\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta _{1}(v+1;\tau )&=-\sum _{n=-\infty }^{\infty }{e^{{\pi }i{\tau }\left(n+{\frac {1}{2}}\right)^{2}+2{\pi }i(n+{\frac {1}{2}})(v+{\frac {1}{2}})+2{\pi }i(n+{\frac {1}{2}})}}\\&=-\sum _{n=-\infty }^{\infty }{e^{{\pi }i{\tau }\left(n+{\frac {1}{2}}\right)^{2}+2{\pi }i(n+{\frac {1}{2}})(v+{\frac {1}{2}})+{\pi }i}}\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{e^{{\pi }i{\tau }\left(n+{\frac {1}{2}}\right)^{2}+2{\pi }i(n+{\frac {1}{2}})(v+{\frac {1}{2}})}}\\&=-\vartheta _{1}(v;\tau )\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/652c156b3769681bd98608fee08514218c2f12b2)
![{\displaystyle \vartheta _{2}(v+1;\tau )=-\vartheta _{2}(v;\tau )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31a5a7aaf9f55b82bee3b2f03975ce70a83df143)
![{\displaystyle \vartheta _{3}(v+1;\tau )=\vartheta _{3}(v;\tau )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afe410475fd5d8ffc66ca855fce1e0eef34e5a5f)
![{\displaystyle \vartheta _{4}(v+1;\tau )=\vartheta _{4}(v;\tau )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/496724508637e07267239109d603ebcdc1937ad2)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta _{1}(v+\tau ;\tau )&=-\sum _{n=-\infty }^{\infty }{e^{{\pi }i{\tau }\left(n+{\frac {1}{2}}\right)^{2}+2{\pi }i(n+{\frac {1}{2}})(v+{\frac {1}{2}})+2{\pi }i(n+{\frac {1}{2}})\tau }}\\&=-\sum _{n=-\infty }^{\infty }{e^{{\pi }i{\tau }\left(n+1+{\frac {1}{2}}\right)^{2}+2{\pi }i(n+1+{\frac {1}{2}})(v+{\frac {1}{2}})-{\pi }i{\tau }-2{\pi }i(v+{\frac {1}{2}})}}\\&=-\sum _{n=-\infty }^{\infty }{e^{{\pi }i{\tau }\left(n+{\frac {1}{2}}\right)^{2}+2{\pi }i(n+{\frac {1}{2}})(v+{\frac {1}{2}})-{\pi }i{\tau }-2{\pi }i(v+{\frac {1}{2}})}}\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{e^{{\pi }i{\tau }\left(n+{\frac {1}{2}}\right)^{2}+2{\pi }i(n+{\frac {1}{2}})(v+{\frac {1}{2}})-{\pi }i{\tau }-2{\pi }iv}}\\&=-e^{-{\pi }i\tau }e^{-2{\pi }i{v}}\vartheta _{1}(v;\tau )\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bced174ffcf234ea85f3a68cf9d91181247d49d1)
![{\displaystyle \vartheta _{2}(v+\tau ;\tau )=e^{-{\pi }i\tau }e^{-2{\pi }i{v}}\vartheta _{2}(v;\tau )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c863290c8372747b8a65bc42894328e5122a651)
![{\displaystyle \vartheta _{3}(v+\tau ;\tau )=e^{-{\pi }i\tau }e^{-2{\pi }i{v}}\vartheta _{3}(v;\tau )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81fcaec82ef17d750298ec6747169eb4f5e33b85)
![{\displaystyle \vartheta _{4}(v+\tau ;\tau )=-e^{-{\pi }i\tau }e^{-2{\pi }i{v}}\vartheta _{4}(v;\tau )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ed85f102b05a7d7f1e31a22d313c64e3314aacc)
ヤコビの三重積の公式により、
![{\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta _{1}(v;\tau )&=-\sum _{n=-\infty }^{\infty }{e^{{\pi }i{\tau }\left(n+1/2\right)^{2}}e^{2{\pi }i(n+1/2)(v+1/2)}}\\&=-ie^{{\pi }i{\tau }/4}e^{{\pi }iv}\sum _{n=-\infty }^{\infty }{e^{{\pi }i{\tau }n^{2}}e^{{\pi }i{\tau }n+2{\pi }ivn+{\pi }in}}\\&=-ie^{{\pi }i{\tau }/4}e^{{\pi }iv}\prod _{m=1}^{\infty }{\left(1-e^{2m{\pi }i{\tau }}\right)\left(1-e^{2m{\pi }i{\tau }}e^{2{\pi }iv}\right)\left(1-e^{(2m-2){\pi }i{\tau }}e^{-2{\pi }iv}\right)}\\&=-ie^{{\pi }i{\tau }/4}e^{{\pi }iv}(1-e^{-2{\pi }iv})\prod _{m=1}^{\infty }{\left(1-e^{2m{\pi }i{\tau }}\right)\left(1-e^{2m{\pi }i{\tau }}e^{2{\pi }iv}\right)\left(1-e^{2m{\pi }i{\tau }}e^{-2{\pi }iv}\right)}\\&=2e^{{\pi }i{\tau }/4}\sin {\pi }v\prod _{m=1}^{\infty }{\left(1-e^{2m{\pi }i{\tau }}\right)\left(1-e^{2m{\pi }i{\tau }}e^{2{\pi }iv}\right)\left(1-e^{2m{\pi }i{\tau }}e^{-2{\pi }iv}\right)}\\&=2e^{{\pi }i{\tau }/4}\sin {\pi }v\prod _{m=1}^{\infty }{\left(1-e^{2m{\pi }i{\tau }}\right)\left(1-2e^{2m{\pi }i{\tau }}\cos {2{\pi }v}+e^{4m{\pi }i{\tau }}\right)}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7fbd66dcab37d2013d4a4d1806f335ebc38b5dd)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta _{2}(v;\tau )&=2e^{{\pi }i{\tau }/4}\cos {\pi }v\prod _{m=1}^{\infty }{\left(1-e^{2m{\pi }i{\tau }}\right)\left(1+e^{2m{\pi }i{\tau }}e^{2{\pi }iv}\right)\left(1+e^{2m{\pi }i{\tau }}e^{-2{\pi }iv}\right)}\\&=2e^{{\pi }i{\tau }/4}\cos {\pi }v\prod _{m=1}^{\infty }{\left(1-e^{2m{\pi }i{\tau }}\right)\left(1+2e^{2m{\pi }i{\tau }}\cos {2{\pi }v}+e^{4m{\pi }i{\tau }}\right)}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef4ea0e6e364db99244ff1586665be3d77556b2e)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta _{3}(v;\tau )&=\prod _{m=1}^{\infty }{\left(1-e^{2m{\pi }i{\tau }}\right)\left(1+e^{(2m-1){\pi }i{\tau }}e^{2{\pi }iv}\right)\left(1+e^{(2m-1){\pi }i{\tau }}e^{-2{\pi }iv}\right)}\\&=\prod _{m=1}^{\infty }{\left(1-e^{2m{\pi }i{\tau }}\right)\left(1+2e^{(2m-1){\pi }i{\tau }}\cos {2{\pi }v}+e^{2(2m-1){\pi }i{\tau }}\right)}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46dbccfb6b53d8dd993cf80d23f12013420ad4ff)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta _{4}(v;\tau )&=\prod _{m=1}^{\infty }{\left(1-e^{2m{\pi }i{\tau }}\right)\left(1-e^{(2m-1){\pi }i{\tau }}e^{2{\pi }iv}\right)\left(1-e^{(2m-1){\pi }i{\tau }}e^{-2{\pi }iv}\right)}\\&=\prod _{m=1}^{\infty }{\left(1-e^{2m{\pi }i{\tau }}\right)\left(1-2e^{(2m-1){\pi }i{\tau }}\cos {2{\pi }v}+e^{2(2m-1){\pi }i{\tau }}\right)}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a5d16360ff310e683ab2cb8c577a18468f25fb3)
であるから
の零点は
![{\displaystyle {\begin{aligned}\cos {2{\pi }v}&=-{\frac {e^{(2m-1){\pi }i{\tau }}+e^{-(2m-1){\pi }i{\tau }}}{2}}\\\cos {2{\pi }v}&={\frac {e^{(2m-1){\pi }i{\tau }+{\pi }i}+e^{-(2m-1){\pi }i{\tau }-{\pi }i}}{2}}\\2{\pi }v&=\left((2m-1){\pi }{\tau }+{\pi }\right)\pm 2{\pi }n\\v&={\frac {2n'+1}{2}}+{\frac {2m'+1}{2}}\tau \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1dd9c186bce935971cee3914b9c83cf4b2ab6a95)
である。他の関数の零点も同様にして求められる。
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\vartheta _{1}(v;\tau )=0\;\Leftrightarrow \;v=n+m\tau \\&\vartheta _{2}(v;\tau )=0\;\Leftrightarrow \;v={\frac {2n+1}{2}}+m\tau \\&\vartheta _{3}(v;\tau )=0\;\Leftrightarrow \;v={\frac {2n+1}{2}}+{\frac {2m+1}{2}}\tau \\&\vartheta _{4}(v;\tau )=0\;\Leftrightarrow \;v=n+{\frac {2m+1}{2}}\tau \\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38588aae9dc6ae008feb62fd5c40bb2c80029c11)
v = 0 のときのテータ関数の値をテータ定数(英: theta constant)あるいはテータ零値(独: Thetanullwerte)という。これは定数といいながら実は τ の関数である。
![{\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta _{2}=\vartheta _{2}(0;\tau )&=2e^{{\pi }i{\tau }/4}\prod _{m=1}^{\infty }{\left(1-e^{2m{\pi }i{\tau }}\right)\left(1+e^{2m{\pi }i{\tau }}\right)^{2}}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/026292165e663aa5079b8b97a29a685afe339fbb)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta _{3}=\vartheta _{3}(0;\tau )&=\prod _{m=1}^{\infty }{\left(1-e^{2m{\pi }i{\tau }}\right)\left(1+e^{(2m-1){\pi }i{\tau }}\right)^{2}}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9a869f912934f75065667603421b51bdef5c8f4)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta _{4}=\vartheta _{4}(0;\tau )&=\prod _{m=1}^{\infty }{\left(1-e^{2m{\pi }i{\tau }}\right)\left(1-e^{(2m-1){\pi }i{\tau }}\right)^{2}}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5cd4021dfcc07fec57405a6c10cc871464fa008a)
であるから、代わりに導関数を用いる。
![{\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta _{1}'&=\left[{\frac {d}{dv}}\vartheta _{1}(v;\tau )\right]_{v=0}\\&=2e^{{\pi }i{\tau }/4}\pi \cos(0)\prod _{m=1}^{\infty }{\left(1-e^{2m{\pi }i{\tau }}\right)^{3}}+2e^{{\pi }i{\tau }/4}\sin(0){\frac {d}{dv}}\prod _{m=1}^{\infty }{\left(1-e^{2m{\pi }i{\tau }}\right)\left(1-e^{2m{\pi }i{\tau }}e^{2{\pi }iv}\right)\left(1-e^{2m{\pi }i{\tau }}e^{-2{\pi }iv}\right)}\\&=2{\pi }e^{{\pi }i{\tau }/4}\prod _{m=1}^{\infty }{\left(1-e^{2m{\pi }i{\tau }}\right)^{3}}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ee7f87bf80cc854c4b6c0309ef51e6196879022)
とすると
![{\displaystyle {\begin{aligned}c&=\prod _{m=1}^{\infty }{\left(1+e^{2m{\pi }i{\tau }}\right)^{2}\left(1+e^{(2m-1){\pi }i{\tau }}\right)^{2}\left(1-e^{(2m-1){\pi }i{\tau }}\right)^{2}}\\&=\prod _{m=1}^{\infty }{\left(1+e^{2m{\pi }i{\tau }}\right)^{2}\left(1-e^{2(2m-1){\pi }i{\tau }}\right)^{2}}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b70b99bb1b7795a621c7d3369437d9014b690547)
となるが、オイラーの分割恒等式により、
![{\displaystyle \prod _{m=1}^{\infty }\left(1+e^{2m{\pi }i{\tau }}\right)=\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-e^{2(2m-1){\pi }i{\tau }}\right)^{-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9864cb17d28c38a96ffb45f8c8968159a48aef90)
であるから c = 1 であり、故に
である。
テータ関数の間で次の恒等式が成立する。
![{\displaystyle \vartheta _{3}\left(v+{\frac {1}{2}},\tau \right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{\pi {i\tau }n^{2}+2\pi {in}(v+1/2)}=\vartheta _{4}(v,\tau )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b3209014fb3b45c1261ed9ed6ea67f856ae4ce2)
![{\displaystyle \vartheta _{2}\left(v+{\frac {1}{2}},\tau \right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{\pi {i\tau }(n+1/2)^{2}+2\pi {i(n+1/2)}(v+1/2)}=-\vartheta _{1}(v,\tau )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e91396aada4fd48eaa8bcc2ae468dbaab48f5334)
![{\displaystyle \vartheta _{3}\left(v+{\frac {\tau }{2}},\tau \right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{\pi {i\tau }n^{2}+2\pi {in}(v+\tau /2)}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{\pi {i\tau }(n+1/2)^{2}-\pi {i\tau }/4+2\pi {i(n+1/2)v}-\pi {iv}}=e^{-\pi {i\tau }/4}e^{-\pi {iv}}\vartheta _{2}(v,\tau )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f60f0189489ba4392119b05d364b2beb3c19492)
擬二重周期と併せて
![{\displaystyle \vartheta _{1}\left(v\pm {\frac {1}{2}},\tau \right)=\pm \vartheta _{2}(v;\tau )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f689819ee50b5734b30898cdd0b5dc0a9965d0ee)
![{\displaystyle \vartheta _{2}\left(v\pm {\frac {1}{2}},\tau \right)=\mp \vartheta _{1}(v;\tau )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b63a86924ab0119bf91c2517c9e530d2a90d9fde)
![{\displaystyle \vartheta _{3}\left(v\pm {\frac {1}{2}},\tau \right)=\vartheta _{4}(v;\tau )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b579e72c270a75fd5649708704843ead5ff4dd75)
![{\displaystyle \vartheta _{4}\left(v\pm {\frac {1}{2}},\tau \right)=\vartheta _{3}(v;\tau )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c25cabc95787fe1536e7c8dd52f4316d6f8ae4b7)
![{\displaystyle \vartheta _{1}\left(v\pm {\frac {\tau }{2}},\tau \right)=\pm {i}e^{-\pi {i\tau }/4}e^{\mp \pi {i}v}\vartheta _{4}(v;\tau )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1ace82c876e35ed227f13e4d4e682b0a0437fd1)
![{\displaystyle \vartheta _{2}\left(v\pm {\frac {\tau }{2}},\tau \right)=e^{-\pi {i\tau }/4}e^{\mp \pi {i}v}\vartheta _{3}(v;\tau )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0fc87494b42f0e5f918d13830bb4e78af53a81e3)
![{\displaystyle \vartheta _{3}\left(v\pm {\frac {\tau }{2}},\tau \right)=e^{-\pi {i\tau }/4}e^{\mp \pi {i}v}\vartheta _{2}(v;\tau )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47719329b512a019f9d781edd14b2c02dbeb3c06)
![{\displaystyle \vartheta _{4}\left(v\pm {\frac {\tau }{2}},\tau \right)=\pm {i}e^{-\pi {i\tau }/4}e^{\mp \pi {i}v}\vartheta _{1}(v;\tau )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/105a645cbe966e98f2c78a6f09d6988cca38ae95)
次の恒等式はヤコビの虚数変換式という。
![{\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta _{1}\left({\frac {v}{\tau }},-{\frac {1}{\tau }}\right)&=ie^{-i\pi /4}\tau ^{1/2}e^{\pi iv^{2}/\tau }\vartheta _{1}\left(v,\tau \right),\\\vartheta _{2}\left({\frac {v}{\tau }},-{\frac {1}{\tau }}\right)&=e^{-i\pi /4}\tau ^{1/2}e^{\pi iv^{2}/\tau }\vartheta _{4}\left(v,\tau \right),\\\vartheta _{3}\left({\frac {v}{\tau }},-{\frac {1}{\tau }}\right)&=e^{-i\pi /4}\tau ^{1/2}e^{\pi iv^{2}/\tau }\vartheta _{3}\left(v,\tau \right),\\\vartheta _{4}\left({\frac {v}{\tau }},-{\frac {1}{\tau }}\right)&=e^{-i\pi /4}\tau ^{1/2}e^{\pi iv^{2}/\tau }\vartheta _{2}\left(v,\tau \right).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/658b48f50d8b670188fb448fdf8feb421c12fdbb)
他に τ を変換するものとして
![{\displaystyle \vartheta _{3}\left(v,\tau +1\right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{\pi {i}(\tau +1)n^{2}+2\pi {i}nv}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}e^{\pi {i}\tau {n^{2}}+2\pi {i}nv}=\vartheta _{4}(v,\tau )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0734e86bd1c2b8a8df15c0ce634dc7749bbe5f16)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta _{3}\left(v,\tau \right)&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{\pi {i}\tau {n^{2}}+2\pi {i}nv}\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{\pi {i}\tau {(2n)^{2}}+2\pi {i}(2n)v}+\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{\pi {i}\tau {(2n+1)^{2}}+2\pi {i}(2n+1)v}\qquad ({n}\mapsto {2n,2n+1})\\&=\vartheta _{3}\left(2v,4\tau \right)+\vartheta _{2}\left(2v,4\tau \right)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d92ca3809947afae9fe4680bf2fb8af5cfd64412)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta _{4}\left(v,\tau \right)&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}e^{\pi {i}\tau {n^{2}}+2\pi {i}nv}\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{\pi {i}\tau {(2n)^{2}}+2\pi {i}(2n)v}-\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{\pi {i}\tau {(2n+1)^{2}}+2\pi {i}(2n+1)v}\qquad ({n}\mapsto {2n,2n+1})\\&=\vartheta _{3}\left(2v,4\tau \right)-\vartheta _{2}\left(2v,4\tau \right)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2c3ff23040883274c5ded089b12928bdd494a94)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta _{3}\left(0,\tau \right)^{2}&=\sum _{m=-\infty }^{\infty }e^{\pi {i}\tau {m^{2}}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{\pi {i}\tau {n^{2}}}=\sum _{m=-\infty }^{\infty }\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{\pi {i}\tau {(m^{2}+n^{2})}}\\&=\sum _{m=-\infty }^{\infty }\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{\pi {i}\tau \left((m+n)^{2}+(m-n)^{2}\right)/2}\\&=\sum _{m=-\infty }^{\infty }\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{\pi {i}\tau \left((2m)^{2}+(2n)^{2}\right)/2}+\sum _{m=-\infty }^{\infty }\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{\pi {i}\tau \left((2m+1)^{2}+(2n+1)^{2}\right)/2}\qquad (\left\lfloor \textstyle {\frac {m+n}{2}}\right\rfloor \mapsto {m},\left\lfloor \textstyle {\frac {m-n}{2}}\right\rfloor \mapsto {n})\\&=\vartheta _{3}\left(0,2\tau \right)^{2}+\vartheta _{2}\left(0,2\tau \right)^{2}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/583f0875bbf093b293889dac5e96d46d06b711a9)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta _{4}\left(0,\tau \right)^{2}&=\sum _{m=-\infty }^{\infty }(-1)^{m}e^{\pi {i}\tau {m^{2}}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}e^{\pi {i}\tau {n^{2}}}=\sum _{m=-\infty }^{\infty }\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{m+n}e^{\pi {i}\tau {(m^{2}+n^{2})}}\\&=\sum _{m=-\infty }^{\infty }\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{m+n}e^{\pi {i}\tau \left((m+n)^{2}+(m-n)^{2}\right)/2}\\&=\sum _{m=-\infty }^{\infty }\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{\pi {i}\tau \left((2m)^{2}+(2n)^{2}\right)/2}-\sum _{m=-\infty }^{\infty }\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{\pi {i}\tau \left((2m+1)^{2}+(2n+1)^{2}\right)/2}\qquad (\left\lfloor \textstyle {\frac {m+n}{2}}\right\rfloor \mapsto {m},\left\lfloor \textstyle {\frac {m-n}{2}}\right\rfloor \mapsto {n})\\&=\vartheta _{3}\left(0,2\tau \right)^{2}-\vartheta _{2}\left(0,2\tau \right)^{2}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72331ec5fb5595571f199329c60fced65991488c)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta _{2}\left(0,\tau \right)^{2}&=\sum _{m=-\infty }^{\infty }e^{\pi {i}\tau {(m+1/2)^{2}}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{\pi {i}\tau {(n+1/2)^{2}}}=\sum _{m=-\infty }^{\infty }\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{\pi {i}\tau {\left((m+1/2)^{2}+(n+1/2)^{2}\right)}}\\&=\sum _{m=-\infty }^{\infty }\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{\pi {i}\tau \left((m+n+1)^{2}+(m-n)^{2}\right)/2}\\&=\sum _{m=-\infty }^{\infty }\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{\pi {i}\tau \left((2m+1)^{2}+(2n)^{2}\right)/2}+\sum _{m=-\infty }^{\infty }\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{\pi {i}\tau \left((2m+2)^{2}+(2n+1)^{2}\right)/2}\qquad (\left\lfloor \textstyle {\frac {m+n}{2}}\right\rfloor \mapsto {m},\left\lfloor \textstyle {\frac {m-n}{2}}\right\rfloor \mapsto {n})\\&=2\vartheta _{3}\left(0,2\tau \right)\vartheta _{2}\left(0,2\tau \right)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ad87702d93f8c81fb96608f0fd5e9c5584031bf)
これにより
![{\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta _{3}\left(0,\tau \right)^{4}-\vartheta _{4}\left(0,\tau \right)^{4}&=\left(\vartheta _{3}\left(0,2\tau \right)^{2}+\vartheta _{2}\left(0,2\tau \right)^{2}\right)^{2}-\left(\vartheta _{3}\left(0,2\tau \right)^{2}-\vartheta _{2}\left(0,2\tau \right)^{2}\right)^{2}\\&=4\vartheta _{3}\left(0,2\tau \right)^{2}\vartheta _{2}\left(0,2\tau \right)^{2}\\&=\vartheta _{2}\left(0,\tau \right)^{4}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5bbd4ec183f2c5352fbc689d03d84be091cec39b)
次の恒等式はランデンの公式 (Landen's formula) という。
![{\displaystyle \vartheta _{4}(0,2\tau )\vartheta _{4}(2v,2\tau )=\vartheta _{3}(v,\tau )\vartheta _{4}(v,\tau )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8671cd3ca4d97874bd21918a8be6acf06a29adbe)
![{\displaystyle \vartheta _{4}(0,2\tau )\vartheta _{1}(2v,2\tau )=\vartheta _{2}(v,\tau )\vartheta _{1}(v,\tau )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc714020fb9c0febed183b8ac5b9f3a375fba2e7)
第一式の右辺を展開すれば
![{\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta _{3}(v,\tau )\vartheta _{4}(v,\tau )&=\left(\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{\pi {i\tau }n^{2}+2\pi {inv}}\right)\left(\sum _{m=-\infty }^{\infty }(-1)^{m}e^{\pi {i\tau }m^{2}+2\pi {imv}}\right)\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\sum _{m=-\infty }^{\infty }(-1)^{m}e^{\pi {i\tau }(n^{2}+m^{2})+2\pi {i(n+m)v}}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2592dde0d16e83027080aa13407192d98c414d8a)
となるが、
が奇数の項は
で打ち消し合うから
![{\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta _{3}(v,\tau )\vartheta _{4}(v,\tau )&=\sum _{n'=-\infty }^{\infty }\sum _{m'=-\infty }^{\infty }(-1)^{n'-m'}e^{2\pi {i\tau }(n'^{2}+m'^{2})+4\pi {in'v}}\qquad ({n}\mapsto {n'+m'},{m}\mapsto {n'-m'})\\&=\left(\sum _{n'=-\infty }^{\infty }(-1)^{n'}e^{2\pi {i\tau }n'^{2}+4\pi {in'v}}\right)\left(\sum _{m'=-\infty }^{\infty }(-1)^{m'}e^{2\pi {i\tau }m'^{2}}\right)\\&=\vartheta _{4}(2v,2\tau )\vartheta _{4}(0,2\tau )\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5799e19249fcf9553e450a9f1ec095f72937fc1)
となり、左辺を得る。第二式は第一式に
を代入して得られる。
例えば
![{\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta _{3}\left(x+y,\tau \right)\vartheta _{3}\left(x-y,\tau \right)&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\sum _{m=-\infty }^{\infty }e^{{\pi }i{\tau }n^{2}+2{\pi }in(x+y)+{\pi }i{\tau }m^{2}+2{\pi }im(x-y)}\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\sum _{m=-\infty }^{\infty }e^{2{\pi }i{\tau }\left({\tfrac {n+m}{2}}\right)^{2}+4{\pi }i\left({\tfrac {n+m}{2}}\right)x+2{\pi }i{\tau }\left({\tfrac {n-m}{2}}\right)^{2}+4{\pi }i\left({\tfrac {n-m}{2}}\right)y}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d88494a3fa52ec25456b4359167146ed346c221a)
であるが、
は共に偶数か共に奇数であるから、
とすれば
![{\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta _{3}\left(x+y,\tau \right)\vartheta _{3}\left(x-y,\tau \right)&=\sum _{N=-\infty }^{\infty }\sum _{M=-\infty }^{\infty }e^{2{\pi }i{\tau }N^{2}+4{\pi }iNx+2{\pi }i{\tau }M^{2}+4{\pi }iMy}\qquad (n{\pm }m\;{\mbox{even}})\\&\quad +\sum _{N=-\infty }^{\infty }\sum _{M=-\infty }^{\infty }e^{2{\pi }i{\tau }\left(N+{\tfrac {1}{2}}\right)^{2}+4{\pi }i\left(N+{\tfrac {1}{2}}\right)x+2{\pi }i{\tau }\left(M+{\tfrac {1}{2}}\right)^{2}+4{\pi }i\left(M+{\tfrac {1}{2}}\right)y}\qquad (n{\pm }m\;{\mbox{odd}})\\&=\vartheta _{3}\left(2x,2\tau \right)\vartheta _{3}\left(2y,2\tau \right)+\vartheta _{2}\left(2x,2\tau \right)\vartheta _{2}\left(2y,2\tau \right)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d0ae36508a7b0eb1321fe5d2064aa21a63368af)
となる。ここで
とすれば
![{\displaystyle \vartheta _{2}\left(x+y,\tau \right)\vartheta _{2}\left(x-y,\tau \right)=\vartheta _{2}\left(2x,2\tau \right)\vartheta _{3}\left(2y,2\tau \right)+\vartheta _{3}\left(2x,2\tau \right)\vartheta _{2}\left(2y,2\tau \right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb4db2037bcfc1e3e1bf8bc4afbc05d248aa9397)
となり、
とすれば
![{\displaystyle \vartheta _{4}\left(x+y,\tau \right)\vartheta _{4}\left(x-y,\tau \right)=\vartheta _{3}\left(2x,2\tau \right)\vartheta _{3}\left(2y,2\tau \right)-\vartheta _{2}\left(2x,2\tau \right)\vartheta _{2}\left(2y,2\tau \right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ccde09655b063decae08a8f12b448ba765f5d70)
となる。これらにより
![{\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta _{3}\left(x+y,\tau \right)\vartheta _{3}\left(x-y,\tau \right)\vartheta _{3}^{\;2}(0,\tau )&=\left(\vartheta _{3}\left(2x,2\tau \right)\vartheta _{3}\left(2y,2\tau \right)+\vartheta _{2}\left(2x,2\tau \right)\vartheta _{2}\left(2y,2\tau \right)\right)\left(\vartheta _{3}^{\;2}\left(0,2\tau \right)+\vartheta _{2}^{\;2}\left(0,2\tau \right)\right)\\&=\left(\vartheta _{3}\left(2x,2\tau \right)\vartheta _{2}\left(0,2\tau \right)+\vartheta _{2}\left(2x,2\tau \right)\vartheta _{3}\left(0,2\tau \right)\right)\left(\vartheta _{2}\left(2y,2\tau \right)\vartheta _{3}\left(0,2\tau \right)+\vartheta _{3}\left(2y,2\tau \right)\vartheta _{2}\left(0,2\tau \right)\right)\\&\quad +\left(\vartheta _{3}\left(2x,2\tau \right)\vartheta _{3}\left(0,2\tau \right)-\vartheta _{2}\left(2x,2\tau \right)\vartheta _{2}\left(0,2\tau \right)\right)\left(\vartheta _{3}\left(2y,2\tau \right)\vartheta _{3}\left(0,2\tau \right)-\vartheta _{2}\left(2y,2\tau \right)\vartheta _{2}\left(0,2\tau \right)\right)\\&=\vartheta _{2}^{\;2}\left(x,\tau \right)\vartheta _{2}^{\;2}\left(y,\tau \right)+\vartheta _{4}^{\;2}\left(x,\tau \right)\vartheta _{4}^{\;2}\left(y,\tau \right)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffbc86e7dab72c4c8f577565ce5988159101de69)
が得られ、同様にして数十もの恒等式が得られる。