ネルダー–ミード法

ネルダー–ミード法（ネルダー–ミードほう、英: Nelder–Mead method）や滑降シンプレックス法（英: downhill simplex method）やアメーバ法（英: amoeba method）は、最適化問題のアルゴリズム。導関数は不要。1965年に John A. Nelder と Roger Mead が発表した^[1]。

n + 1 個の頂点からなる n 次元の単体（シンプレックス）をアメーバのように動かしながら関数の最小値を探索する。反射、膨張、収縮の3種類を使い分けながら探索する。

Rの汎用的最適化の optim() のデフォルトのアルゴリズムとしても使われている。

線形計画法の1つであるシンプレックス法と名前はまぎらわしいが、基本的に無関係である。

${\displaystyle f({\textbf {x}})}$ の最小化を行う。${\displaystyle {\textbf {x}}}$ は n 次元のベクトル。関数の引数は探索開始点。定数は一般的には ${\displaystyle \alpha =1,\gamma =2,\rho =1/2,\sigma =1/2}$ を使用する。${\displaystyle {\textbf {e}}_{i}}$ は単位ベクトル。

function nelderMead(${\displaystyle {\textbf {x}}_{1}}$) {     ${\displaystyle {\textbf {x}}_{i+1}={\textbf {x}}_{1}+\lambda {\textbf {e}}_{i}{\text{ for all i }}\in \{1,\dots ,n\}}$     while (所定のループ回数 や 値の改善が小さくなった) {         ${\displaystyle f({\textbf {x}}_{1})\leq f({\textbf {x}}_{2})\leq \cdots \leq f({\textbf {x}}_{n+1})}$ となるようにソートする。              // 重心（${\displaystyle {\textbf {x}}_{n+1}}$は除外）         ${\displaystyle {\textbf {x}}_{0}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{\textbf {x}}_{i}}$               ${\displaystyle {\textbf {x}}_{r}={\textbf {x}}_{o}+\alpha ({\textbf {x}}_{o}-{\textbf {x}}_{n+1})}$         if ${\displaystyle (f({\textbf {x}}_{1})\leq f({\textbf {x}}_{r})<f({\textbf {x}}_{n}))}$ {             // 反射             ${\displaystyle {\textbf {x}}_{n+1}={\textbf {x}}_{r}}$         } else if ${\displaystyle (f({\textbf {x}}_{r})<f({\textbf {x}}_{1}))}$ {             // 膨張             ${\displaystyle {\textbf {x}}_{e}={\textbf {x}}_{o}+\gamma ({\textbf {x}}_{r}-{\textbf {x}}_{o})}$             if ${\displaystyle (f({\textbf {x}}_{e})<f({\textbf {x}}_{r}))}$ {                 ${\displaystyle {\textbf {x}}_{n+1}={\textbf {x}}_{e}}$             } else {                 ${\displaystyle {\textbf {x}}_{n+1}={\textbf {x}}_{r}}$             }         } else {             // 収縮             ${\displaystyle {\textbf {x}}_{c}={\textbf {x}}_{o}+\rho ({\textbf {x}}_{n+1}-{\textbf {x}}_{o})}$             if ${\displaystyle (f({\textbf {x}}_{c})<f({\textbf {x}}_{n+1}))}$ {                 ${\displaystyle {\textbf {x}}_{n+1}={\textbf {x}}_{c}}$             } else {                 ${\displaystyle {\textbf {x}}_{i}={\textbf {x}}_{1}+\sigma ({\textbf {x}}_{i}-{\textbf {x}}_{1}){\text{ for all i }}\in \{2,\dots ,n+1\}}$             }         }     } } 

表 話 編 歴 数理最適化 • 最適化問題 : メソッド • ヒューリスティック
非線形（無制約）	… 関数　 黄金分割探索 直線探索 ネルダー–ミード法 放物線補間 パウエル法 勾配法 収束性 信頼領域 ウルフ条件 準ニュートン法 BFGS法 ブロイデン法 L-BFGS法 DFP法 SR1法 BHHH法 その他の求解法 ガウス・ニュートン法 最急降下法（確率的） レーベンバーグ・マーカート法 共役勾配法（非線形共役勾配法） 打ち切りニュートン法 ドッグレッグ法 鏡像 座標 バルジライ・ボールウェイン法 … ヘッセ行列 最適化におけるニュートン法
非線形（制約付き）	一般 バリア関数 ペナルティ関数法 微分可能 ラグランジュの未定乗数法 拡張ラグランジュ関数法 逐次二次計画法 逐次線形計画法
凸最適化	凸最小化 切除平面法 簡約勾配法 劣勾配法 近接勾配法 線形 および 二次 内点法 アフィンスケーリング法 カーマーカーの射影変換法 メロートラの予測子修正子法 基底-交換 単体法 改訂単体法 十文字法 レムケの相補掃き出し法 その他 カチヤンの楕円体法 有効制約法 列生成法 ベンダーズ分解法
組合せ最適化	系列範例 (Paradigms) 近似アルゴリズム 動的計画法 貪欲法 整数計画問題（分枝限定法・分枝カット法・分枝価格法） グラフ理論 最小全域木 ブルーフカ法 クラスカル法 プリム法 最短経路問題 ベルマン–フォード法 ダイクストラ法 ワーシャル–フロイド法 ジョンソン法 ネットワークフロー (最大流問題) ディニッツ法 エドモンズ・カープ法 フォード・ファルカーソン法 プリフロープッシュ法
メタヒューリスティクス	進化的アルゴリズム（進化戦略） 山登り法 局所探索法 焼きなまし法 タブーサーチ ベイスンホッピング法 量子焼きなまし法
カテゴリ（最適化 • アルゴリズム） • ソフトウェア

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