ハーン多項式(はーんたこうしき、英語: Hahn polynomials)は直交多項式のひとつで、アスキースキームによって体系付けられる[1]。
ハーン多項式は超幾何級数を用いて次のように定義される:
![{\displaystyle Q_{n}(x;\alpha ,\beta ,N)={_{3}F_{2}}\left({\begin{matrix}-n,n+\alpha +\beta +1,-x\\\alpha +1,-N\end{matrix}};1\right),\quad x=0,1,\ldots ,N.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a3134f4f3aa5f8d5044a87b85332e939b7109ef)
または
に対して以下の直交関係を満たす:
![{\displaystyle \sum _{x=0}^{N}{\binom {\alpha +x}{x}}{\binom {\beta +N-x}{N-x}}Q_{m}(x;\alpha ,\beta ,N)Q_{n}(x;\alpha ,\beta ,N)={\frac {(-1)^{n}(n+\alpha +\beta +1)_{N+1}(\beta +1)_{n}n!}{(2n+\alpha +\beta +1)(\alpha +1)_{n}(-N)_{n}N!}}\delta _{mn}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0c3c7364b8e40a0b86a728a5337366497bdff11)
但し、
はポッホハマーの記号を表す。
以下の漸化式が成り立つ。
![{\displaystyle -xQ_{n}(x)=A_{n}Q_{n+1}(x)-(A_{n}+C_{n})Q_{n}(x)+C_{n}Q_{n-1}(x).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9a5fa0fbfdffaa672d61ac3ff24fd89a4200b73)
但し、
を
と略記し、
![{\displaystyle {\begin{aligned}A_{n}&={\frac {(n+\alpha +\beta +1)(n+\alpha +1)(N-n)}{(2n+\alpha +\beta +1)(2n+\alpha +\beta +2)}},\\C_{n}&={\frac {n(n+\alpha +\beta +N+1)(n+\beta )}{(2n+\alpha +\beta )(2n+\alpha +\beta +1)}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/763cfda73366aaebff9fa79948166c84a4ec9742)
とした。
次の差分方程式を満たす:
![{\displaystyle n(n+\alpha +\beta +1)Q_{n}(x)=B(x)Q_{n}(x+1)-(B(x)+D(x))Q_{n}(x)+D(x)Q_{n}(x-1).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e7e9ab4311dd54d5f35d57126d25e180007e70e)
但し、
![{\displaystyle {\begin{aligned}B(x)&=(x+\alpha +1)(x-N),\\D(x)&=x(x-\beta -N-1).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b71b3a7ed9c68cd9b06365ee195783dd38a5c2a)
ロドリゲスの公式に相当する以下の式を満たす:
![{\displaystyle \omega (x;\alpha ,\beta ,N)Q_{n}(x)={\frac {(-1)^{n}(\beta +1)_{n}}{(-N)_{n}}}\nabla ^{n}\omega (x;\alpha +n,\beta +n,N-n).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44fab0680d90596228a1aba93bedbc1ac23a2330)
以下の母関数を持つ:
![{\displaystyle {_{1}F_{1}}\left({\begin{matrix}-x\\\alpha +1\end{matrix}};-t\right){_{1}F_{1}}\left({\begin{matrix}x-N\\\beta +1\end{matrix}};t\right)=\sum _{n=0}^{N}{\frac {(-N)_{n}}{(\beta +1)_{n}n!}}Q_{n}(x;\alpha ,\beta ,N)t^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/562e52fb8933803b2c7700a434554b5288f95270)
![{\displaystyle {_{2}F_{0}}\left({\begin{matrix}-x,-x+\beta +N+1\\-\end{matrix}};-t\right){_{2}F_{0}}\left({\begin{matrix}x-N,x+\alpha +1\\-\end{matrix}};t\right)=\sum _{n=0}^{N}{\frac {(-N)_{n}(\alpha +1)_{n}}{n!}}Q_{n}(x;\alpha ,\beta ,N)t^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/295a40fa87a270479a05bf809e940b9b0c7a3d74)
![{\displaystyle \left[(1-t)^{-\alpha -\beta -1}{_{3}F_{2}}\left({\begin{matrix}{\frac {1}{2}}(\alpha +\beta +1),{\frac {1}{2}}(\alpha +\beta +2),-x\\\alpha +1,-N\end{matrix}};-{\frac {4t}{(1-t)^{2}}}\right)\right]_{N}=\sum _{n=0}^{N}{\frac {(\alpha +\beta +1)_{n}}{n!}}Q_{n}(x;\alpha ,\beta ,N)t^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8425b2f1d08973256c7da0a5acd90534b2076f92)
変数
と
を交換することによって双対ハーン多項式
が得られる:
![{\displaystyle Q_{x}(n;\alpha ,\beta ,N)=R_{n}(\lambda (x);\alpha ,\beta ,N).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e21de157929c7353b396a578f334e02be9b4dc3)