モーダスポネンス

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演繹の推論規則
命題計算
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カテゴリ:推論規則
表 話 編 歴

モーダスポネンス（ラテン語: modus ponens、MP）とは、論理学における妥当で単純な「論証」である。ラテン語で「肯定によって肯定する様式」の意。前件肯定（affirming the antecedent）または分離規則（the law of detachment）とも呼ぶ。

推論の最も典型的な形式であり、一般に次のような形式である^[1]。

P ならば Q である。

P である。

従って、Q である。

論理演算の記法では次のようになる。

${\displaystyle ((P\to Q)\land P)\vdash Q}$

ここで、${\displaystyle \vdash }$ は論理的帰結関係を表す。

モーダスポネンスを次のように表記する場合もある。

${\displaystyle \qquad {\frac {(P\rightarrow Q),P}{Q}}}$

これらはいずれも前提条件が2つ存在する。第一の条件は条件文または論理包含演算であり、Q が P を包含することを示す。第二の条件は P であり、第一の条件の条件部分が真であることを主張している。これら2つの前提から論理的に Q が真であることが導かれる。

以下にモーダスポネンス的な文章の例を示す。

今日が火曜日なら、私は働きに行く。

今日は火曜日だ。

だから、私は働きに行く。

この論述は正しい。しかしそのことは論述に含まれる命題の各々が正しいかどうか（真であるかどうか）とは無関係である。モーダスポネンスとして「健全」な論述は、その結論が真となるいかなる状況に於ても、全ての前提が真であるべきである。論述が正しくとも前提の一部が真でない場合には「不健全」となり得るのであり、論述が正しくかつ全ての前提が真の場合には「健全」である。

ほとんどの論理体系でモーダスポネンスが採用されている。

論証がモーダスポネンスで、その前提が真なら、その論証は健全である。

前提は真である。

従って、その論証は健全である。

命題論理では、モーダスポネンスが推論規則とされている。

メタ論理では、モーダスポネンスはカット規則である。カット除去定理によれば、シークエント計算のようなある種の論理計算ではカットは妥当な、許容される推論規則（admissible rule）である。

仮説演繹法はモーダスポネンスに基づいて定式化されている^[1]。

モーダスポネンスの拡張として multiple modus ponens（mmp）があり、以下のような形式である。

P ならば、Q である。

Q ならば、R である。

P である。

従って、R である。

論理演算の記法で表すと次のようになる。

P → Q

Q → R

P

├ R

• 三段論法、選言三段論法、仮言三段論法
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• 後件肯定
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• カリー・ハワード対応
• 自然演繹
• 仮説演繹法

• 前田なお『本当の声を求めて 野蛮な常識を疑え』青山ライフ出版〈SIBAA BOOKS〉、2024年10月29日。ISBN 978-4-434-34443-5。 

• Weisstein, Eric W. "Modus Ponens". mathworld.wolfram.com (英語).