リアプノフ・フラクタル

リアプノフ・フラクタル（英: Lyapunov fractal）とは、個体数の成長指数 r が周期的に2つの値 a と b に切り替わるロジスティック写像を拡張することで得られる分岐的フラクタルである。

リアプノフ・フラクタルは、a と b について与えられた周期列の a-b 平面における安定的振る舞いとカオス的振る舞いの領域（リアプノフ指数 ${\displaystyle \lambda }$ を使って測る）の写像により構築される。掲載している図では色が付いている部分が ${\displaystyle \lambda <0}$（安定）で、黒い部分が ${\displaystyle \lambda >0}$（カオス）である（左上が (a,b) = (0,0)）。

リアプノフ・フラクタルは a と b の値を ${\displaystyle [0,4]}$ の範囲で変化させて描画するのが一般的である。a = b の場合、単純なロジスティック関数と同じである。

初期値は反復関数の臨界点である 0.5 とするのが普通である。

リアプノフ・フラクタルを計算するアルゴリズムをまとめると、次のようになる。

1. A と B からなる任意の自明でない長さの文字列を選ぶ（例えば、AABAB）。
2. その文字列を必要なだけ繰り返した周期列 ${\displaystyle S}$ を構築する。
3. (a,b) を ${\displaystyle (a,b)\in [0,4]\times [0,4]}$ の範囲で選ぶ。
4. ${\displaystyle S_{n}=A}$ なら ${\displaystyle r_{n}=a}$、${\displaystyle S_{n}=B}$ なら ${\displaystyle r_{n}=b}$ となる関数を定義する。
5. ${\displaystyle x_{0}=0.5}$ とし、${\displaystyle x_{n+1}=r_{n}x_{n}(1-x_{n})}$ を繰り返し計算する。
6. 次のようにリアプノフ指数を計算する:
   ${\displaystyle \lambda =\lim _{N\rightarrow \infty }{1 \over N}\sum _{n=1}^{N}\log \left|{dx_{n+1} \over dx_{n}}\right|=\lim _{N\rightarrow \infty }{1 \over N}\sum _{n=1}^{N}\log |r_{n}(1-2x_{n})|}$
   実際には、適当な大きさの ${\displaystyle N}$ を選ぶことで ${\displaystyle \lambda }$ を近似的に求めることができる。
7. ${\displaystyle (a,b)}$ の色を ${\displaystyle \lambda }$ の値に従って決める。
8. (3-7) のステップを描画範囲について繰り返す。

このアルゴリズムはMathematicaなどの言語に適しているが、低レベルなプログラミング言語には向かない。

• [1] EFG's Fractals and Chaos - Lyapunov Exponents
• [2] Lyapunov Space - The Chaos Hypertextbook by Glenn Elert

表 話 編 歴 フラクタル
特徴	フラクタル次元 Assouad（英語版） Box-counting（英語版） Correlation（英語版） ハウスドルフ Packing（英語版） 位相 再帰（英語版） 自己相似 自己相似過程 スケール不変性
反復関数系	バーンズリーのシダ カントール集合 ドラゴン曲線 レヴィC曲線 コッホ雪片 メンガーのスポンジ シェルピンスキーのカーペット シェルピンスキーのギャスケット アポロニウスのギャスケット コッホ曲線 空間充填曲線 T-square（英語版）
ストレンジアトラクター	多重フラクタル系（英語版）
L-system	空間充填曲線
Escape-time fractals	バーニングシップ・フラクタル ジュリア集合 充填 リアプノフ・フラクタル マンデルブロ集合 ニュートン・フラクタル（英語版）
確率的フラクタル	ブラウン運動 非整数ブラウン運動 ブラウンの木（英語版） 拡散律速凝集 フラクタル地形 Lévy flight（英語版） パーコレーション理論（英語版） Self-avoiding walk（英語版）
人物	ゲオルク・カントール フェリックス・ハウスドルフ ガストン・ジュリア ヘルゲ・フォン・コッホ ポール・レヴィ アレクサンドル・リャプノフ ブノワ・マンデルブロ ルイス・フライ・リチャードソン ヴァツワフ・シェルピニスキ
その他	"How Long Is the Coast of Britain?（英語版）" 海岸線のパラドックス List of fractals by Hausdorff dimension（英語版） The Beauty of Fractals（英語版） (1986 book)
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