リース空間

数学におけるリース空間（リースくうかん、英: Riesz space）、線型束空間あるいは束線型空間 (lattice-ordered vector space)、またはベクトル束 (vector lattice)^{[* 1]} とは、順序構造が束を成す順序線型空間のことである。リース空間の名はリース・フリジェシュの論文 (Riesz 1928) に因む。

リース空間の概念は測度論において重要で、ラドン-ニコディムの定理がフロイデンタールのスペクトル定理の特別な場合であるといったように、測度論における主要な結果はリース空間における結果として一般化して定式化できる。

実数体 R 上のベクトル空間 (X, +, •) 上に半順序関係 "≤" が定義されているとき、組 (X, +, •, ≤) がリース空間またはベクトル束であるとは、f, g, h などは X の任意の元として

1. f ≤ g ならば f + h ≤ g + h が成り立つ。
2. [0 ≤ a ∈ R かつ f ≤ g] ならば af ≤ ag が成り立つ。
3. (X, ≤) は順序集合として束を成す

なる公理を満たすときに言う。演算や順序が明らかで誤解の虞のない場合、通例の如く台集合と同じ記号を用いてベクトル束 X とか X はベクトル束であるなどという。また、2. の条件で R 上の順序も X 上の順序も同じ ≤ で記してあるが、どの空間上の順序関係であるかは文脈から明らかであろうから、区別のための添字などは省略してある。

最初のふたつの条件は (X, +, •, ≤) が順序線型空間となることを言うものである。2. の条件は

[0 ≤ a ∈ R かつ 0 ≤ f] ならば 0 ≤ af が成り立つ。

に取り替えてもよい。束演算 "∧", "∨" を通例の如く定める（束論参照）ならば、これらと線型演算 "+", "•" との間に特定の関係 (clamp-rule) が成立する。

ベクトル束 X の元 p が正 (positive) あるいは非負 (non-negative) であるとは、0 ≤ p となることをいう。X の正の元全体 X⁺ はしばしば正錐 (positive cone) と呼ばれる。各元 f に対して、|f| := f ∨ (−f) を f の絶対値 (modulus) と呼ぶ。また、f⁺ := 0 ∨ f を f の正の成分 (positive part) といい、f⁻ := 0 ∨ (−f) を f の負の成分 (negative part) と呼ぶ。任意の f に対して、f⁺, f⁻ はともに正の元で、f = f⁺ − f⁻, |f| = f⁺ + f⁻ を満たす。

• 実数全体の成す集合 R は通常の大小関係 "≤" に関してリース空間を成す。
• 実数の n-組全体の成す集合 Rⁿ は成分ごとの大小関係から定まる順序に関してリース空間を成す。
• 実数列全体の成す集合 R^N は成分ごとの大小関係から定まる順序に関してリース空間を成す。
• 0 に収斂する実数列全体の成す集合 c₀ は成分ごとの大小関係から定まる順序に関してベクトル束を成す。
• 1 ≤ p < ∞ なる p に対する、p-乗総和可能実数列の全体の成す集合 l_p は成分ごとの順序から定まる順序に関してベクトル束を成す。
• 有界実数列全体の成す集合 l_∞ は成分ごとの大小関係から定まる順序に関してベクトル束を成す。
• 集合 X 上のコンパクト台つき実数値連続函数の全体の成す集合 C_c(X; R) は、点ごとの大小関係で定まる半順序
  ${\displaystyle f\leq g\iff f(x)\leq g(x){\text{ for }}\forall x\in X}$
  に関してベクトル束を成す。
• 区間 [a, b] 上の連続函数全体の成す集合 C[a, b] は点ごとの大小関係で定まる半順序に関してベクトル束を成す。
• 区間 [a, b] 上の連続的微分可能函数全体の成す集合 C¹[a, b] は順序線型空間を成すが、ベクトル束にはならない。

• ベクトル束は束群である。
• ベクトル束 (X, +, •, ∧, ∨) における線型構造と束構造は以下の意味で両立する。f, g, h を X の任意の元、a ≥ 0 を R の元として
  • ${\displaystyle (f+h)\lor (g+h)=(f\lor g)+h,}$
  • ${\displaystyle (f+h)\land (g+h)=(f\land g)+h,}$
  • ${\displaystyle (af)\lor (ag)=a(f\lor g),}$
  • ${\displaystyle (af)\land (ag)=a(f\land g),}$
  • ${\displaystyle (-f)\lor (-g)=-(f\land g),}$
  • ${\displaystyle (-f)\land (-g)=-(f\lor g).}$
• X の元 f に対し、|f| := f ∨ (−f) と置けば
  ${\displaystyle {\begin{aligned}f\lor g&={1 \over 2}(f+g+|f-g|),\\f\land g&={1 \over 2}(f+g-|f-g|)\end{aligned}}}$
  を得る。特に
  ${\displaystyle (f\lor g)+(f\land g)=f+g,\quad (f\lor g)-(f\land g)=|f-g|}$
  が成り立つ。
• リース空間は束として分配的である。
  • ${\displaystyle (f\lor g)\land h=(f\land h)\lor (g\land h),}$
  • ${\displaystyle (f\land g)\lor h=(f\lor h)\land (g\lor h).}$

1. ^ 微分幾何学等で扱われるベクトル束 (vector bundle) とは異なることに注意。

出典は列挙するだけでなく、脚注などを用いてどの記述の情報源であるかを明記してください。 記事の信頼性向上にご協力をお願いいたします。（2023年9月）

• Bourbaki, Nicolas; Elements of Mathematics: Integration. Chapters 1–6; ISBN 3-540-41129-1
• Riesz, Frigyes; Sur la décomposition des opérations fonctionelles linéaires , Atti congress. internaz. mathematici (Bologna, 1928) , 3 , Zanichelli (1930) pp. 143–148
• Sobolev, V. I. (2001), “Riesz space”, Encyclopædia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-4020-0609-8, http://eom.springer.de/R/r082290.htm 
• Luxembrg, W.A.J. & Zaanen, A.C.: "Riesz spaces", North-Holland, 1971, ISBN 978-0444866264

表 話 編 歴 関数解析学
集合 / 部分集合のタイプ	均衡 星状 絶対凸 凸 併呑 有界（英語版） 放射状（英語版） 対称（英語版） 線型錐（部分集合） 凸錐（部分集合）
線型位相空間のタイプ	バナッハ 樽型 界相 Brauner（英語版） F-空間 有限次元 フレシェ (tame) ヒルベルト LF空間 局所凸 マッキー（英語版） モンテル 核型 ノルム付き（ノルム） 準ノルム付き 回帰的 リース スミス（英語版） Stereotype（英語版） ウェブ付き 位相テンソル積（英語版）（ヒルベルト空間の（英語版））
位相	双対 双対空間 作用素 強（極 作用素） Ultrastrong（英語版） 弱（作用素） Ultraweak（英語版） 一様収束（英語版）
線型作用素	随伴 双線型（形式） 有界 / 非有界 閉（英語版） 連続 / 不連続 コンパクト フレドホルム ヒルベルト＝シュミット 汎関数（正（英語版）） 正規 核 自己共役 Strictly singular（英語版） トレースクラス 転置 ユニタリ
集合の操作	代数的内部（核） 内部 ミンコフスキー和（英語版） 極
バナッハ環	C*-環 スペクトル（C*-環（英語版） 半径) スペクトル理論
定理	Eberlein–Šmulian（英語版） 開写像 角谷の不動点 ゲルファント＝マズール コーシー＝シュワルツの不等式 Goldstine（英語版） シャウダーの不動点 パーセヴァルの等式 ハーン–バナッハ（分離超平面） バナッハ＝アラオグル Banach–Saks（英語版） Banach–Mazur（英語版） フロイデンタールのスペクトル 閉値域 閉グラフ ベッセルの不等式 マッキー＝アレンス マズールの補題 リースの拡張 Lomonosov's invariant subspace（英語版） ニュートン＝カントロビッチ
解析	ボホナー空間 フレシェ空間における微分（英語版） 微分（フレシェ ガトー 汎函数 holomorphic（英語版）） 積分（ボホナー Dunford ゲルファント＝ペティス 方正 弱) 汎函数計算（Borel（英語版） continuous（英語版） holomorphic（英語版）） 逆函数定理（Nash–Moser theorem（英語版）） ベクトル測度
応用	量子力学の数学的定式化 有限要素法 偏微分方程式の解に対する精度保証付き数値計算
日本人研究者	加藤敏夫 吉田耕作 藤田宏 増田久弥
海外の研究者	リース・フリジェシュ ステファン・バナフ ダフィット・ヒルベルト イズライル・ゲルファント ピーター・ラックス
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