五次方程式

五次方程式（ごじほうていしき、英語: quintic equation）とは、次数が5であるような代数方程式のこと。

一般に一変数の五次方程式は

a₅ x⁵ + a₄ x⁴ + a₃ x³ + a₂ x² + a₁ x + a₀ = 0, (a₅ ≠ 0)

の形で表現される。

代数学の基本定理によれば、任意の複素数係数方程式は複素数の中に根が存在する。その一方、五次以上の一般の方程式に対する代数的解法は存在しない。すなわち、一般の五次方程式に対して代数的な根の公式は存在しない。もう少し詳しく書くと、五次の一般方程式の根を、その式の各項の係数と有理数の、有限回の四則演算及び有限回の根号をとる操作の組み合わせで表示することはできない。

これはルフィニ、アーベルらによって示された（アーベル–ルフィニの定理参照）。 またガロアによって方程式が代数的に解ける条件が裏付けられている（ガロア理論参照）。

なお、代数的ではないが、楕円関数などを用いた根の公式は存在する。

五次方程式の解を超越的な手続を許して構成する方法としては、

• レベル5のモジュラー方程式の解を利用する方法
• 超幾何級数を利用する方法

の2つが知られている。 前者はエルミートによって、後者はクラインによって証明された^[1][2]。

五次方程式の解を構成するためには、まず、次の3つの事実を知っておかねばならない。

• 任意の五次方程式は代数的操作のみによってブリング-ジェラード(Bring-Jerrard)の標準形に変形できる。
• レベル5のモジュラー方程式の解が具体的に求められる。
• それらの解のある特定のコンビネーションが五次方程式を満足し、ブリング-ジェラードの標準形と関係付けることができる。

これらを結合することで五次方程式の解を構成することができる^[3]。

任意の五次方程式

${\displaystyle x^{5}+a_{4}x^{4}+a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=0}$

はチルンハウス変換（英語版）

${\displaystyle y=x^{4}+b_{3}x^{3}+b_{2}x^{2}+b_{1}x+b_{0}}$

において適当に係数 b_j を選ぶことによって、ブリング-ジェラードの標準形

${\displaystyle y^{5}+y+b=0}$

へ変換することが可能であるので、まず、この形へ帰着させる。この手続は代数的に実行可能であるが b_j は a_l の複雑な関数である。

複素トーラス（英語版）の周期をそれぞれ ${\displaystyle \omega _{1},\omega _{2}}$ として、${\displaystyle \tau }$ を

${\displaystyle \tau ={\frac {\omega _{2}}{\omega _{1}}}}$

で定義する。ただし、${\displaystyle \tau }$ は純虚数と仮定する。また、

${\displaystyle q=e^{i\pi \tau }}$

と定義する^{[注釈 1]}。この時 ${\displaystyle q}$ と ${\displaystyle q^{n}}$ が満足する関係式、または同値だが ${\displaystyle \tau }$ と ${\displaystyle n\tau }$ とが満たすべき関係式のことを「レベル ${\displaystyle n}$ のモジュラー方程式」と言う。この方程式は次の形をとる^[4]。

${\displaystyle {\frac {L'}{L}}=n{\frac {K'}{K}}.}$

ただし、${\displaystyle K,L}$ はそれぞれ母数が ${\displaystyle k,l}$ の第1種完全楕円積分、${\displaystyle K',L'}$ はそれぞれ母数が ${\displaystyle k':={\sqrt {1-k^{2}}}}$^{[注釈 2]}、${\displaystyle l':={\sqrt {1-l^{2}}}}$ の第1種完全楕円積分を表す^{[注釈 3]}。この方程式によって、2つの母数 ${\displaystyle k,l}$ が満たすべき方程式が決まる。${\displaystyle n=5}$ のとき ${\displaystyle \tau }$ と ${\displaystyle 5\tau }$ は次の関係式を満足することが分かっている。

${\displaystyle F\left[-{\sqrt[{4}]{\kappa (5\tau )}},{\sqrt[{4}]{\kappa (\tau )}}\right]=0,\quad F(x,y)=x^{6}-y^{6}+5x^{2}y^{2}(x^{2}-y^{2})-4xy(x^{4}y^{4}-1)=0,}$

ただし、${\displaystyle \kappa (\tau )}$は母数を表す。また、この式の証明の途中で次の2つの命題が証明される。

• ${\displaystyle K=\mathbb {Q} [{\sqrt[{4}]{\kappa }}(\tau )]}$ と定義すると、${\displaystyle F[x,{\sqrt[{4}]{\kappa }}(\omega )]\in \mathbb {Q} [{\sqrt[{4}]{\kappa }}(\omega )][x]=K[x]}$ は ${\displaystyle K}$ 上で既約である。
• この方程式の解が ${\displaystyle \alpha _{\infty }=-{\sqrt[{4}]{\kappa (5\tau )}},\quad \alpha _{l}={\sqrt[{4}]{\kappa \left({\frac {\tau +16l}{5}}\right)}}\quad l\in \{1,2,3,4\}}$

で与えられる^[3]。

今、

${\displaystyle {\begin{aligned}r_{0}&=(\alpha _{\infty }-\alpha _{0})(\alpha _{1}-\alpha _{4})(\alpha _{2}-\alpha _{3}){\sqrt[{4}]{\kappa }}(\tau )\\r_{1}&=(\alpha _{\infty }-\alpha _{1})(\alpha _{2}-\alpha _{0})(\alpha _{3}-\alpha _{4}){\sqrt[{4}]{\kappa }}(\tau )\\r_{2}&=(\alpha _{\infty }-\alpha _{2})(\alpha _{1}-\alpha _{3})(\alpha _{0}-\alpha _{4}){\sqrt[{4}]{\kappa }}(\tau )\\r_{3}&=(\alpha _{\infty }-\alpha _{3})(\alpha _{2}-\alpha _{4})(\alpha _{1}-\alpha _{0}){\sqrt[{4}]{\kappa }}(\tau )\\r_{4}&=(\alpha _{\infty }-\alpha _{4})(\alpha _{0}-\alpha _{3})(\alpha _{1}-\alpha _{2}){\sqrt[{4}]{\kappa }}(\tau )\end{aligned}}}$

と定義すると、${\displaystyle r_{i}}$ は ${\displaystyle \;K({\sqrt {5\,}})\;}$ 上の方程式

${\displaystyle x^{5}-2^{4}\cdot 5^{3}\kappa ^{2}(1-\kappa ^{2})^{2}x-2^{6}\cdot 5^{\frac {5}{2}}\kappa ^{2}(1-\kappa ^{2})^{2}(1+\kappa ^{2})=0}$

の解であることが証明できる^{[注釈 4]}。この式とブリング-ジェラードの標準形とを結合することで五次方程式の解が構成できる。具体的には、

${\displaystyle b=-{\rm {i}}{\frac {2(1+\kappa ^{2})}{5^{\frac {5}{4}}{\sqrt {\kappa (1-\kappa ^{2})}}}}}$

の変換で互いに移り変わる。これより、複素数 ${\displaystyle \kappa (\tau )}$ は、四次方程式を解くことで決定できる。${\displaystyle r_{i}}$ を決定するには、この他に ${\displaystyle \tau }$ そのものの値も必要であるので、残されている手続はパラメータ ${\displaystyle \tau }$ の決定である。そして、この部分が超越的操作を含んでいる。${\displaystyle \kappa (\tau )}$ と ${\displaystyle \tau }$ とは、楕円曲線 C

${\displaystyle y^{2}=(1-x^{2})(1-\kappa ^{2}x^{2})}$

上の第1種積分

${\displaystyle \xi ={\frac {dx}{y}}={\frac {dx}{\sqrt {(1-x^{2})(1-\kappa ^{2}x^{2})}}}}$

の周期の比、すなわち第一種完全楕円積分

${\displaystyle K=K(\kappa )=\int _{0}^{1}{\frac {dx}{\sqrt {(1-x^{2})(1-\kappa ^{2}x^{2})}}},\quad K'=K'(\kappa )=K(\kappa ')=\int _{0}^{1}{\frac {dx}{\sqrt {(1-x^{2})(1-{\kappa '}^{2}x^{2})}}},\quad \kappa '={\sqrt {1-\kappa ^{2}}}}$

を用いて、

${\displaystyle \tau ={\frac {{\rm {i}}K'}{K}}}$

の関係で結ばれている。これが ${\displaystyle \kappa (\tau )}$から ${\displaystyle \tau }$ を決定する式である。この式は代数的には解けないが、この方程式を満足する ${\displaystyle \tau }$ を ${\displaystyle r_{i}}$ に代入して五次方程式の解が得られる。

五次方程式を正20面体方程式（60次方程式）に帰着させ、正20面体方程式の解は超幾何関数で示される。

正20面体を二次元球面 S²に内接。 二次元球面 S²とリーマン球面（複素射影直線）を同一視。複素射影直線の斉次座標を${\displaystyle z_{1},z_{2}(z={z_{1}}/{z_{2}})}$とし、以下の式を得る。

${\displaystyle f=z_{1}z_{2}(z_{1}^{10}+11z_{1}^{5}z_{2}^{5}-z_{2}^{10}),}$

${\displaystyle H=-(z_{1}^{20}+z_{2}^{20})+228(z_{1}^{15}z_{2}^{5}-z_{1}^{5}z_{2}^{15})-494z_{1}^{10}z_{2}^{10},}$

${\displaystyle T=(z_{1}^{30}+z_{2}^{30})+522(z_{1}^{25}z_{2}^{5}-z_{1}^{5}z_{2}^{25})-10005(z_{1}^{20}z_{2}^{10}+z_{1}^{10}z_{2}^{20}).}$

これらを用いて(と書いているのにTは使われていない？)

${\displaystyle q(z)={\frac {H(z_{1},z_{2})^{3}}{1728f(z_{1},z_{2})^{5}}}={\frac {H(z,1)^{3}}{1728f(z,1)^{5}}}}$

となり、 ${\displaystyle q(z)=u}$ は（uが何であるか言及がない？）60次の方程式、いわゆる正20面体方程式

${\displaystyle ((z^{20}+1)-288(z^{15}-z^{5})+494z^{10})^{3}+1728uz^{5}(z^{10}+11z^{5}-1)^{5}=0}$

となる。 逆を求めると F(α,β,γ;ｚ）をガウスの超幾何関数として^[5]

${\displaystyle z={\frac {F({\frac {11}{60}},{\frac {31}{60}},{\frac {6}{5}};{\frac {1}{u}})}{{\sqrt[{5}]{1728}}F(-{\frac {1}{60}},{\frac {19}{60}},{\frac {4}{5}};{\frac {1}{u}})}}}$

一般式が代数的に解けないということは、上記に示したとおりであるが、特定の五次方程式がどのような場合に解けるかは分かっている。ラグランジュが3次、4次で用いた手法をそのまま持ち込んだ場合、

${\displaystyle x=(\alpha _{1}+\zeta \alpha _{2}+\zeta ^{2}\alpha _{3}+\zeta ^{3}\alpha _{4}+\zeta ^{4}\alpha _{5})^{5}}$ (ただし ζ は1の原始5乗根)

の置換を考察することになるが、この場合5次対称群の位数は120で、出現する式は5次巡回群の位数=5で割った24通りである。つまりその為に解かなければならない方程式は24次式となり5次よりはるかに悪化する。

そこでより位数の低い置換を与えるような式を考察する必要があるが、これは1861年にアーサー・ケイリーが与えたものが最良となる。

${\displaystyle x=(\alpha _{1}\alpha _{2}+\alpha _{2}\alpha _{3}+\alpha _{3}\alpha _{4}+\alpha _{4}\alpha _{5}+\alpha _{5}\alpha _{1}-\alpha _{1}\alpha _{3}-\alpha _{2}\alpha _{4}-\alpha _{3}\alpha _{5}-\alpha _{4}\alpha _{1}-\alpha _{5}\alpha _{2})^{2}}$

この場合出現する式は6通りであり、6次方程式を解くことに帰着する。もちろんこれを代数的に解くことは一般的状況では不可能であるが、根の平方が有理数になる場合に限り、実質的な次数が下がり、代数的に解ける。以下は3次、4次のラグランジュの解法同様にして元の方程式の根を得る。これが五次方程式が代数的に解ける必要十分条件である。

四則演算と通常の冪根をとることに加えて超冪根（すなわち既約な方程式 x⁵ + x - a = 0 の唯一の実根）をとる操作も「代数的操作」として許容した場合、この拡張された意味において一般五次方程式が「代数的に」解けることが知られている。

5次の推移群は以下の 5種類である^[6]。

• S₅ 対称群（位数 120）
• A₅ 交代群（位数 60）
• B'₅ メタ巡回群（英語版）（位数 20）
• B₅ 半メタ巡回群（位数 10）
• C₅ 巡回群（位数 5）

既約な ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ 係数の 5 次方程式 ${\displaystyle x^{5}+ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0}$ のガロア群 G は，♯G = 120, 60, 20, 10, 5 である^[7]。

• 5次対称群 S₅
• 5次交代群 A₅
• 位数20のフロベニウス群（英語版） F₂₀
• 10次二面体群 D₁₀
• 5次巡回群 C₅

1. ^ F.クライン、正20面体と5次方程式改訂新版、シュプリンガー・ジャパン、2005、ISBN 978-4-431-71118-6.
2. ^ F.Klein, Lectures on the Icosahedron and the Solution of the Fifth Degree (English translation), Cosimo Inc., 2007, ISBN 978-1-602-06306-8.
3. ^ ^{a b} 梅村浩著、楕円関数論、東京大学出版会、2000年、ISBN 4-13-061303-0
4. ^ G.H.Hardy, Ramanujan---Twelve lectures on subjects suggested by his life and work(reprint), AMS Chelsy Publishing, 1999, ISBN 0-8218-2023-0, p.214.
5. ^ 関口次郎「クラインとポアンカレの往復書簡について―保型関数論の源流」（PDF）『津田塾大学数学・計算機科学研究所報』第25巻、2004年、49–75頁。 
6. ^ 元吉文男「5次方程式の可解性の高速判定法（数式処理における理論と応用の研究）」『数理解析研究所講究録』第848巻、京都大学数理解析研究所、1993年、1–5頁、CRID 1050282677087499264、hdl:2433/83668。 
7. ^ 方程式のガロア群

• アーベル-ルフィニの定理
• ガロア理論
• 群論（可解群）
• ヤコビの虚数変換式

• 5次方程式の解の公式を求める
• n次方程式の解をDKA法を用いて求める
• Bruce Bartlett:The Quintic, the Icosahedron, and Elliptic Curves, AMS Notices (April 2024)
• 5次方程式の可解性の高速判定法 元吉文男 数理解析研究所講究録

表 話 編 歴 多項式
元数	多変数
次数	多項式 零多項式 定数多項式 斉次多項式 函数 次数不確定 (or −∞)（零函数） 零次（非零定数函数） 一次 二次 三次 四次 五次 方程式 一次 二次 三次 四次 五次 六次 七次 八次
項数	零項 定数項 単項 二項 三項 無限変数（フランス語版） 座標に依らない記述（英語版）
係数条件	容量 1（原始的） 主係数 1（モニック）
アルゴリズム	因数分解 最大公約式（英語版） 除法（英語版） ホーナー法 終結式 判別式 グレブナー基底
関連項目	代数方程式 多項式の根 重根 (多項式) 根と係数の関係 剰余の定理 因数定理 多項式の展開 多項定理 二項定理 整式 解の公式 二次方程式の解の公式 陰計算
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