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円錐 円錐 (えんすい、英 : cone )とは、円 を底面として持つ錐 ( きり ) 状にとがった立体のことである。
三次元空間 内の直線 l と l 上の点 p を置く。点 p を通り、直線 l に平行 でも垂直 でもない直線を、 l を軸として回転させて得られる曲面 (回転面 )を円錐面 という。
さらに回転軸に直交 する平面 P をとり、円錐面と P とで囲む有界 で中身の詰まった立体図形を直円錐 あるいは単に円錐 という。
このとき、点 p をこの円錐の頂点 、頂点と底面との距離をこの円錐の高さ といい、直線 l (と円錐との共通部分)をこの円錐の母線 という。また、円錐と平面 P との共通部分をこの円錐の底面 といい、そうでない面を側面 という。底面は回転軸と平面 P との交点を中心とするような円になる。また、円錐の展開図 を書くと、側面は扇形 である。この扇形の半径 となるような線分 も母線と呼ばれ、この扇形の中心角 は円錐の頂角 と呼ばれる。
外観図と展開図
円錐は、錐体 の一種である。 高さを h 、母線の長さを c 、底面の半径を r 、底面積を B ( = π r 2 {\displaystyle =\pi r^{2}} )、底面の周を b ( = 2 π r {\displaystyle =2\pi r} )、 と置けば、円錐の側面積 S side 、表面積 S 、体積 V はそれぞれ以下で与えられる[1] : S s i d e = π r c = π c c 2 − h 2 = 1 2 b c {\displaystyle S_{\mathrm {side} }=\pi rc=\pi c{\sqrt {c^{2}-h^{2}}}={\frac {1}{2}}bc} S = S s i d e + B = π r ( r + c ) = 1 2 b ( r + c ) {\displaystyle S=S_{\mathrm {side} }+B=\pi r(r+c)={\frac {1}{2}}b(r+c)\,} V = 1 3 π r 2 h = 1 3 π ( c 2 − h 2 ) h = 1 3 B h {\displaystyle V={\frac {1}{3}}\pi r^{2}h={\frac {1}{3}}\pi (c^{2}-h^{2})h={\frac {1}{3}}Bh} 円錐面は、適当な直交変換 を行うことにより、次の陰関数 に帰着される。
a X 2 + b Y 2 − c Z 2 = 0 {\displaystyle aX^{2}+bY^{2}-cZ^{2}=0} 式の形から、円錐面は二次曲面 の一種であることがわかる。また定義から直接に、円錐面は次の関数に媒介変数表示 できる。
{ X = a cos ( s t ) Y = b sin ( s t ) Z = c t {\displaystyle {\begin{cases}X=a\cos(st)\\Y=b\sin(st)\\Z=ct\end{cases}}} 円錐面を平面で切断したとき、その断面として現れる曲線 を総称して円錐曲線 という。解析幾何学 においてはこれが二次曲線と同値であることが示される。
直円錐と斜円錐 一般に、ある平面 P 上の円 O と平面 P 上にない点 T が与えられたとき、O の円周上の点と T とを結んだ線分 の軌跡および円 O で囲まれる立体を斜円錐 あるいは単に円錐という。また、円 O をこの斜円錐の底面 、点 T をこの斜円錐の頂点 という。
底面でない面を側面、頂点と底面との距離を高さと呼ぶのは直円錐と同じである。
なお、斜円錐の頂点 T から平面 P に下ろした垂線の足が円 O の中心に一致するならば、この斜円錐は直円錐である。
また、直円錐は直線を交わる直線を軸にして得られた回転体であったが、仮に直線をそれに平行な直線を軸にして回転させると直柱体 になり、"ねじれの位置" にある直線を軸にして回転させると回転双曲面になる。
^ 「4次元以上の空間が見える」小笠英志 ベレ出版 ISBN 978-4860641184 のPP.178-185に、錐の体積=(1/3)×底面積×高さの公式の1/3はどうして1/3になるのかについての小学生も納得できる説明が載っている ウィキメディア・コモンズには、
円錐 に関連するカテゴリがあります。
フィリピン にあるマヨン山 (ルソン富士)。成層火山の一例。