数論 、特に局所類体論 (英語版 ) における分岐群 (ぶんきぐん、英 : ramification group )とは、局所体 のガロア群 のフィルトレーション (英語版 ) であり、体拡大における分岐 の現象について詳細な情報を提供してくれるものである。
付値の分岐理論 (ramification theory of valuations)は、体 K の付値 v の K の拡大体 L への延長 の集合を研究する数学 の理論。デデキント環の分岐理論の一般化である [ 1] [ 2] 。
L /K がガロア拡大 のとき、付値の延長からなる集合の構造は詳しく知ることができる。
(K , v ) を付値体 、L を K の有限次 ガロア拡大 とする。Sv を v の L への延長の同値 類 からなる集合とし、G を L の K 上のガロア群 とする。このとき、G は Sv に σ[w ] = [w ∘ σ] で作用する。つまり、w を同値類 [w ] ∈ Sv の代表元 としたとき、[w ] の行き先を自己同型 σ : L → L と w の合成 が定める同値類とすることにより作用を定義する。これは [w ] の代表元 w の取り方によらない。この作用は推移的 である。
v の L への延長 w を1つとる。w の分解群 (decomposition group of w )とは、[w ] の固定部分群 Gw (同値類 [w ] ∈ Sv を固定する G の元全体からなる部分群 )のことを言う。
Rw を w についての付値環 、mw をその極大イデアル とする。w の惰性群 (inertia group of w )とは、Gw の元 σ で Rw の全ての元 x に対して σx ≡ x (mod mw )が成り立つもの全体からなる部分群 Iw のことである。言い換えると、Iw は分解群の要素で w に関する剰余体 に自明に作用 するもの全体である。これは Gw の正規部分群 である。
被約分岐指数 (英語版 ) [訳語疑問点 ] e (w /v ) は w によらないので、e (v ) と表す。同様に、剰余次数 (または相対次数、relative degree)f (w /v ) も w によらないので、f (v ) と表す。
局所体 [ 3] の有限次ガロア拡大 L / K {\displaystyle L/K} のガロア群 G {\displaystyle G} の詳しい理解を可能にしてくれるものが分岐群である。 K {\displaystyle K} の整数環を O K {\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}} と置き、 L {\displaystyle L} の付値、その整数環、その極大イデアルを、それぞれ w , O L , p {\displaystyle w,{\mathcal {O}}_{L},{\mathfrak {p}}} とする。ヘンゼルの補題 により、ある α ∈ L {\displaystyle \alpha \in L} を使って O L = O K [ α ] {\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}={\mathcal {O}}_{K}[\alpha ]} と書くことができる(これは原始元定理 より強い主張である)[ 4] 。整数 i ≥ − 1 {\displaystyle i\geq -1} に対して、 G i {\displaystyle G_{i}} を次の同値な条件を満たす s ∈ G {\displaystyle s\in G} 全体の集合として定義する。
(i) s {\displaystyle s} は O L / p i + 1 {\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}/{\mathfrak {p}}^{i+1}} に自明に作用する (ii) 全ての x ∈ O L {\displaystyle x\in {\mathcal {O}}_{L}} について w ( s ( x ) − x ) ≥ i + 1 {\displaystyle w(s(x)-x)\geq i+1} が成り立つ (iii) w ( s ( α ) − α ) ≥ i + 1 {\displaystyle w(s(\alpha )-\alpha )\geq i+1} この群 G i {\displaystyle G_{i}} のことを i {\displaystyle i} 次分岐群 ( i {\displaystyle i} -th ramification group)という。これらは減少フィルトレーション (英語版 )
G − 1 = G ⊃ G 0 ⊃ G 1 ⊃ … { ∗ } {\displaystyle G_{-1}=G\supset G_{0}\supset G_{1}\supset \dots \{*\}} を定める。(i) より G i {\displaystyle G_{i}} は正規であることが分かり、(iii) より十分大きな i {\displaystyle i} に対して自明 になることが分かる。 G 0 {\displaystyle G_{0}} は、ガロア拡大での素イデアルの分解 との関係に鑑み、慣例的に G {\displaystyle G} の惰性部分群 (英語版 ) と呼ばれている。 G 1 {\displaystyle G_{1}} は G {\displaystyle G} の野生分岐群 (英語版 ) (または暴分岐群、wild inertia subgroup)、商 G 0 / G 1 {\displaystyle G_{0}/G_{1}} は馴商 [訳語疑問点 ] (tame quotient)と呼ばれている。
ガロア群 G {\displaystyle G} とその部分群 G i {\displaystyle G_{i}} はこのフィルトレーションと商を使って調べることができる。次が成り立つ。
G / G 0 = Gal ( l / k ) {\displaystyle G/G_{0}=\operatorname {Gal} (l/k)} が成り立つ。 l , k {\displaystyle l,k} は L , K {\displaystyle L,K} の剰余体(有限体である)[ 5] 。 G 0 = 1 ⇔ L / K {\displaystyle G_{0}=1\Leftrightarrow L/K} は不分岐拡大 G 1 = 1 ⇔ L / K {\displaystyle G_{1}=1\Leftrightarrow L/K} は従順分岐 (英語版 ) (tamely ramified,馴分岐とも。分岐指数は剰余体の標数と互いに素であること) i ≥ 0 {\displaystyle i\geq 0} に対して G i = ( G 0 ) i {\displaystyle G_{i}=(G_{0})_{i}} が成り立つので、分岐群の研究は完全分岐の場合に帰着される。
G {\displaystyle G} 上の関数 i G {\displaystyle i_{G}} を、 s ∈ G {\displaystyle s\in G} に対して i G ( s ) = w ( s ( α ) − α ) {\displaystyle i_{G}(s)=w(s(\alpha )-\alpha )} として定義する。先ほどの (ii) から i G {\displaystyle i_{G}} は α {\displaystyle \alpha } の取り方によらない。また、フィルトレーション G i {\displaystyle G_{i}} の研究は本質的に i G {\displaystyle i_{G}} の研究と同値である[ 6] 。 s , t ∈ G {\displaystyle s,t\in G} に対して、 i G {\displaystyle i_{G}} は次を満たす。
i G ( s ) ≥ i + 1 ⇔ s ∈ G i {\displaystyle i_{G}(s)\geq i+1\Leftrightarrow s\in G_{i}} i G ( t s t − 1 ) = i G ( s ) {\displaystyle i_{G}(tst^{-1})=i_{G}(s)} i G ( s t ) ≥ min { i G ( s ) , i G ( t ) } {\displaystyle i_{G}(st)\geq \min\{i_{G}(s),i_{G}(t)\}} π {\displaystyle \pi } を L {\displaystyle L} の素元とすると、 s ↦ s ( π ) / π {\displaystyle s\mapsto s(\pi )/\pi } は単射 G i / G i + 1 → U L , i / U L , i + 1 , i ≥ 0 {\displaystyle G_{i}/G_{i+1}\to U_{L,i}/U_{L,i+1},i\geq 0} を誘導する。ここで、 U L , 0 = O L × , U L , i = 1 + p i {\displaystyle U_{L,0}={\mathcal {O}}_{L}^{\times },U_{L,i}=1+{\mathfrak {p}}^{i}} である。この写像は素元の取り方によらない[ 7] 。これを使うと次がわかる [ 8] 。
G 0 / G 1 {\displaystyle G_{0}/G_{1}} は位数が p {\displaystyle p} と互いに素な巡回群 G i / G i + 1 {\displaystyle G_{i}/G_{i+1}} は位数が p {\displaystyle p} の巡回群の積 特に、 G 1 {\displaystyle G_{1}} は p 群 で、 G 0 {\displaystyle G_{0}} は可解群 である。 G / G 0 {\displaystyle G/G_{0}} は有限体のガロア群と同型であったので、特にアーベル拡大である。したがって(局所体の任意のガロア拡大のガロア群としてとっていた) G {\displaystyle G} は可解群である。
分岐群を使って、体拡大 L / K {\displaystyle L/K} やその部分拡大の共役差積 (英語版 ) D L / K {\displaystyle {\mathfrak {D}}_{L/K}} を計算することもできる[ 9] 。次が成り立つ
w ( D L / K ) = ∑ s ≠ 1 i G ( s ) = ∑ i = 0 ∞ ( | G i | − 1 ) {\displaystyle w({\mathfrak {D}}_{L/K})=\sum _{s\neq 1}i_{G}(s)=\sum _{i=0}^{\infty }(|G_{i}|-1)} H {\displaystyle H} を G {\displaystyle G} の正規部分群とすると、 σ ∈ G {\displaystyle \sigma \in G} に対して i G / H ( σ ) = 1 e L / K ∑ s ↦ σ i G ( s ) {\displaystyle i_{G/H}(\sigma )={1 \over e_{L/K}}\sum _{s\mapsto \sigma }i_{G}(s)} が成り立つ[ 10] 。
これと先ほどの式をあわせると、 H {\displaystyle H} に対応する部分拡大 F / K {\displaystyle F/K} に対して
v F ( D F / K ) = 1 e L / F ∑ s ∉ H i G ( s ) {\displaystyle v_{F}({\mathfrak {D}}_{F/K})={1 \over e_{L/F}}\sum _{s\not \in H}i_{G}(s)} が成り立つ。
s ∈ G i , t ∈ G j , i , j ≥ 1 {\displaystyle s\in G_{i},t\in G_{j},i,j\geq 1} とすると、 s t s − 1 t − 1 ∈ G i + j + 1 {\displaystyle sts^{-1}t^{-1}\in G_{i+j+1}} が成り立つ[ 11] 。ラザール (英語版 ) の言葉を使うならば、これはリー代数 gr ( G 1 ) = ∑ i ≥ 1 G i / G i + 1 {\displaystyle \operatorname {gr} (G_{1})=\sum _{i\geq 1}G_{i}/G_{i+1}} がアーベルであるということになる。
ζ {\displaystyle \zeta } を1の原始 p n {\displaystyle p^{n}} 乗根 とする。円分拡大 K n := Q p ( ζ ) / Q p {\displaystyle K_{n}:=\mathbf {Q} _{p}(\zeta )/\mathbf {Q} _{p}} の分岐群は次のように具体的に計算できる[ 12] 。
G s = G a l ( K n / K e ) {\displaystyle G_{s}=Gal(K_{n}/K_{e})} ここで e は p e − 1 ≤ s < p e {\displaystyle p^{e-1}\leq s<p^{e}} となるものである。
K を Q 2 上 x 1 = 2 + 2 {\displaystyle x_{1}={\sqrt {2+{\sqrt {2}}\ }}} で生成される拡大体とする。x1 の共役は x 2 = 2 − 2 {\displaystyle x_{2}={\sqrt {2-{\sqrt {2}}\ }}} と x 3 = −x 1 と x 4 = −x 2 である。
簡単な計算からこれらの元の任意の2つの商は単数 であることが分かる。したがってこれらは全て同じイデアルを生成する。そのイデアルを π と置く。 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} は π 2 を生成し、(2)=π 4 である。
x 1 − x 3 = 2x 1 で、これは π 5 に入る。
x 1 − x 2 = 4 − 2 2 {\displaystyle x_{1}-x_{2}={\sqrt {4-2{\sqrt {2}}\,\,}}} は π 3 に入る。
計算方法は色々あるが、K のガロア群は位数 4 の巡回群 C 4 {\displaystyle C_{4}} であることが分かる[ 13] 。そして、
G 0 = G 1 = G 2 = C 4 {\displaystyle G_{0}=G_{1}=G_{2}=C_{4}} かつ G 3 = G 4 = ( 13 ) ( 24 ) {\displaystyle G_{3}=G_{4}=(13)(24)} である[ 14] 。
w ( D K / Q 2 ) = 3 + 3 + 3 + 1 + 1 = 11 {\displaystyle w({\mathfrak {D}}_{K/Q_{2}})=3+3+3+1+1=11} なので、共役差積は D K / Q 2 = π 11 {\displaystyle {\mathfrak {D}}_{K/Q_{2}}=\pi ^{11}} となる。
x 1 は x 4 − 4x 2 + 2 を満たし、これの判別式は 2048 = 211 である。
u ≥ − 1 {\displaystyle u\geq -1} である実数 u {\displaystyle u} に対して、 G u {\displaystyle G_{u}} を i ≥ u {\displaystyle i\geq u} である最小の整数 i の G i {\displaystyle G_{i}} として定義する。 s ∈ G u ⇔ i G ( s ) ≥ u + 1 {\displaystyle s\in G_{u}\Leftrightarrow i_{G}(s)\geq u+1} となるように定義する、と言ってもいい。 関数 ϕ {\displaystyle \phi } を
ϕ ( u ) = ∫ 0 u d t ( G 0 : G t ) {\displaystyle \phi (u)=\int _{0}^{u}{dt \over (G_{0}:G_{t})}} で定義する[ 15] 。ここで、 t = − 1 {\displaystyle t=-1} に対しては ( G 0 : G t ) {\displaystyle (G_{0}:G_{t})} は ( G − 1 : G 0 ) − 1 {\displaystyle (G_{-1}:G_{0})^{-1}} とし、 − 1 < t ≤ 0 {\displaystyle -1<t\leq 0} に対しては 1 {\displaystyle 1} とする[ 16] 。定義により − 1 ≤ u ≤ 0 {\displaystyle -1\leq u\leq 0} に対して ϕ ( u ) = u {\displaystyle \phi (u)=u} が成り立つ。 ϕ {\displaystyle \phi } が連続かつ狭義単調増加であることはすぐ分かり、したがって連続な逆関数 ψ {\displaystyle \psi } であって [ − 1 , ∞ ) {\displaystyle [-1,\infty )} 上定義されたものが存在する。 G v = G ψ ( v ) {\displaystyle G^{v}=G_{\psi (v)}} と定義する。 G v {\displaystyle G^{v}} を第 v 上付き分岐群 (v -th ramification group in upper numbering)という。言い換えれば G ϕ ( u ) = G u {\displaystyle G^{\phi (u)}=G_{u}} である。 G − 1 = G , G 0 = G 0 {\displaystyle G^{-1}=G,G^{0}=G_{0}} が成り立つ。上付きの添字は商をとる操作と整合するよう定義されており[ 17] 、 H {\displaystyle H} が G {\displaystyle G} の正規部分群なら、全ての v {\displaystyle v} に対し
( G / H ) v = G v H / H {\displaystyle (G/H)^{v}=G^{v}H/H} が成り立つ。
(一方、下付きの添字は部分群に行く操作と整合する。)
エルブランの定理 は、下付き分岐群について G u H / H = ( G / H ) v {\displaystyle G_{u}H/H=(G/H)_{v}} が成り立ち( H {\displaystyle H} に対応する部分拡大を L / F {\displaystyle L/F} とし、 v = ϕ L / F ( u ) {\displaystyle v=\phi _{L/F}(u)} とおいている)、上付き分岐群について G u H / H = ( G / H ) u {\displaystyle G^{u}H/H=(G/H)^{u}} が成り立つという主張である[ 18] [ 19] 。これから、局所体の絶対ガロア群 をはじめとする無限次ガロア拡大に対して、有限次部分拡大についての分岐群の逆系を使って、上付き分岐群を定義することが可能になる。
アーベル拡大の上付き分岐群について、ハッセ・アルフの定理 (英語版 ) という定理が知られている。これは、 G {\displaystyle G} がアーベルならフィルトレーション G v {\displaystyle G^{v}} の跳躍は整数、つまり ϕ ( i ) {\displaystyle \phi (i)} が整数でなかったら G i = G i + 1 {\displaystyle G_{i}=G_{i+1}} が成り立つという定理である[ 20] 。
上付き分岐群によるフィルトレーションは、単数群によるノルム剰余群(norm residue group)のフィルトレーションと、アルティン同型写像 のもとで両立する。すなわち、同型写像
G ( L / K ) a b ↔ K ∗ / N L / K ( L ∗ ) {\displaystyle G(L/K)^{\mathrm {ab} }\leftrightarrow K^{*}/N_{L/K}(L^{*})} による G n ( L / K ) {\displaystyle G^{n}(L/K)} の像は、ちょうど
U K n / ( U K n ∩ N L / K ( L ∗ ) ) {\displaystyle U_{K}^{n}/(U_{K}^{n}\cap N_{L/K}(L^{*}))} になる[ 21] 。
^ Fröhlich, A. ; Taylor, M.J. (1991). Algebraic number theory . Cambridge studies in advanced mathematics. 27 . Cambridge University Press . ISBN 0-521-36664-X . Zbl 0744.11001 ^ Zariski, Oscar ; Samuel, Pierre (1976) [1960]. Commutative algebra, Volume II . Graduate Texts in Mathematics . 29 . New York, Heidelberg: Springer-Verlag. Chapter VI. ISBN 978-0-387-90171-8 . Zbl 0322.13001 ^ 剰余体が有限体、特に完全体であることを仮定している。非完全な剰余体への一般化も存在する。『分岐理論と有限平坦 Galois表現 』参照。 ^ Neukirch (1999) p.178 ^ G / G 0 {\displaystyle G/G_{0}} は分解群と標準的に同型であることによる。 ^ Serre (1979) p.62 ^ Conrad ^ これは U L , 0 / U L , 1 ≃ l × {\displaystyle U_{L,0}/U_{L,1}\simeq l^{\times }} と U L , i / U L , i + 1 ≈ l + {\displaystyle U_{L,i}/U_{L,i+1}\approx l^{+}} であることによる。 ^ Serre (1979) 4.1 Prop.4, p.64 ^ Serre (1979) 4.1. Prop.3, p.63 ^ Serre (1979) 4.2. Proposition 10. ^ Serre, Corps locaux . Ch. IV, §4, Proposition 18 ^ x 2 = (x 1 2 - 2)/x 1 が成り立つので、K は x 1 の共役を全て含み、K は Q 2 上のガロア拡大 であることが分かる。σ をこのガロア拡大のガロア群の元で σ(x 1 ) = x 2 となるものとする。簡単な計算から、σ(x 2 ) = x 3 , σ(x 3 ) = x 4 , σ(x 4 ) = x 1 が分かり、これから σ は位数 4 の元である。まとめると、K は Q 2 上の4次のガロア拡大で、そのガロア群は位数4の巡回群である。 ^ #下付き分岐群 の定義に現れる α として x1 をとり、分岐群の定義と x 1 − x 3 の計算結果を使うと確かめられる。 ^ Serre (1967) p.156 ^ Neukirch (1999) p.179 ^ Serre (1967) p.155 ^ Neukirch (1999) p.180 ^ Serre (1979) p.75 ^ Neukirch (1999) p.355 ^ Snaith (1994) pp.30-31 服部新 (2007年12月3日). “分岐理論と有限平坦Galois表現 ” (pdf). 2021年10月24日 閲覧。 B. Conrad, Math 248A. Higher ramification groups Fröhlich, A. ; Taylor, M.J. (1991). Algebraic number theory . Cambridge studies in advanced mathematics. 27 . Cambridge University Press . ISBN 0-521-36664-X . Zbl 0744.11001 Neukirch, Jürgen (1999), Algebraic Number Theory , Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, 322 , Berlin: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-65399-8 , Zbl 0956.11021 , MR 1697859 Serre, Jean-Pierre (1967). “VI. Local class field theory”. In Cassels, J.W.S. ; Fröhlich, A. . Algebraic number theory. Proceedings of an instructional conference organized by the London Mathematical Society (a NATO Advanced Study Institute) with the support of the International Mathematical Union . London: Academic Press. pp. 128–161. Zbl 0153.07403 Serre, Jean-Pierre (1979). Local Fields . Graduate Texts in Mathematics. 67 . Berlin, New York: Springer-Verlag . ISBN 0-387-90424-7 . MR 0554237 . Zbl 0423.12016 Snaith, Victor P. (1994). Galois module structure . Fields Institute monographs. Providence, RI: American Mathematical Society . ISBN 0-8218-0264-X . Zbl 0830.11042