双八元数

数学における双八元数(そうはちげんすう、: bi­octonion)または複素­八元数(ふくそはちげんすう、: complex octonion)は、双四元数英語版 p, q の対 (p, q) として与えられる。二つの双八元数の積は、双四元数の乗法と双共軛 (biconjugate) pp* を用いて と定義される。

  • 双八元数 z ≔ (p, q) の共軛は z* ≔ (p*, −q) とする。
  • 双八元数 z のノルムは N(z) ≔ zz* (= pp* + qq*) と定義され、これは八つの項を持つ複素二次形式(エルミート二次形式)である。

双八元数全体の成す多元環(双八元数代数、双八元数環)は、単純に実係数の八元数体の複素化英語版として導入されることもあるが、抽象代数学においては複素数体・自明な対合・二次形式 z2 の三つ組からのケイリー–ディクソン構成の結果として得られる。双八元数環は一般八元数環の一つの例である。

双八元数の任意の対 y, z に対して が成り立つから、これにより N は合成可能な二次形式であることが分かり、したがって双八元数環は合成代数を成す。

複素八元数はクォークレプトンの世代を記述するのに用いられた[1]

脚注

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参考文献

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  • J. D. Edmonds (1978) Nine-vectors, complex octonion/quaternion hypercomplex numbers, Lie groups and the ‘real’ world, Foundations of Physics 8(3-4): 303–11, doi:10.1007/BF00715215 link from PhilPapers.
  • J. Koeplinger & V. Dzhunushaliev (2008) "Nonassociative decomposition of angular momentum operator using complex octonions", presentation at a meeting of the American Physical Society
  • D.G. Kabe (1984) "Hypercomplex Multivariate Normal Distribution", Metrika 31(2):63−76 MR744966
  • A.A. Eliovich & V.I. Sanyuk (2010) "Polynorms", Theoretical and Mathematics Physics 162(2) 135−48 MR2681963