反対圏

圏論という数学の分野において，与えられた圏 C の反対圏（はんたいけん，英: opposite category），逆圏（ぎゃくけん）あるいは双対圏（そうついけん，英: dual category）C^op は射を逆にする，つまり，各射の始域と終域を交換することによって作られる．逆にする操作を2回やるともとの圏になるので，逆圏の逆圏はもとの圏自身である．記号で書けば，${\displaystyle (C^{\text{op}})^{\text{op}}=C}$ である．

• 例の1つは半順序の不等式の向きを逆にして得られる．つまり X が集合で ≤ が半順序関係のとき，新しい半順序関係 ≤_new を

x ≤_new y ⇔ y ≤ x

によって定義できる．例えば，子と親，あるいは子孫と先祖という逆のペアがある．

• ブール代数とその準同型の圏はストーン空間（英語版）と連続写像の圏の逆圏と同値である．
• アフィーンスキームの圏は可換環の圏の逆圏と同値である．
• ポントリャーギン双対性を制限してコンパクトハウスドルフ空間ハウスドルフ可換位相群の圏と（離散）アーベル群の圏の逆圏の間の同値を得る．
• Gelfand–Neumark の定理により，局所化可能な可測空間（と可測関数）の圏は可換フォン・ノイマン環（と *-環の正規単位的（英語版）準同型）の圏と同値である^[1]．

逆は積を保つ：

${\displaystyle (C\times D)^{\text{op}}\cong C^{\text{op}}\times D^{\text{op}}}$ (積圏（英語版）を参照)

逆は関手を保つ：

${\displaystyle (\mathrm {Funct} (C,D))^{\text{op}}\cong \mathrm {Funct} (C^{\text{op}},D^{\text{op}})}$^[2][3] (関手圏，逆関手（英語版）を参照)

逆は slice を保つ：

${\displaystyle (F\downarrow G)^{\text{op}}\cong (G^{\text{op}}\downarrow F^{\text{op}})}$ (コンマ圏を参照)

• 双対対象（英語版）
• 双対 (圏論)
• 双対
• 随伴関手
• 反変関手
• 逆関手（英語版）

• Opposite category in nLab

表 話 編 歴 圏論
主要項目	圏 射 エピ モニック 図式 可換図式 自然変換 圏同値 反対圏 始対象と終対象 普遍性 米田の補題 双対 極限 帰納極限 射影極限 積 余積 像 余像 等化子 余等化子 トポス 核 余核 引き戻し モナド Kan拡張
関手	加法的 完全 充満 随伴 対角 忠実 導来 表現可能 本質的全射 Hom関手
具体的圏	関手圏 前加法圏 集合の圏 マグマの圏 群の圏 アーベル群の圏 擬環の圏 環の圏 加群の圏 ベクトル空間の圏 多元環の圏 位相空間の圏 距離空間の圏 多様体の圏
圏の類	完備圏 コンマ圏 部分圏 モノイド閉圏 デカルト閉圏 アーベル圏 導来圏 クライスリ圏 デカルトモノイド圏
一般化	豊穣圏 2-圏 圏の圏
人物	ソーンダース・マックレーン サミュエル・アイレンベルグ アレクサンドル・グロタンディーク ウィリアム・ローヴェア ハインリッヒ・クライスリ
関連分野	代数幾何学 普遍代数 ホモロジー代数
関連項目	『圏論の基礎』
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