完全系列

ホモロジー代数における完全系列（かんぜんけいれつ、英: exact sequence）あるいは完全列（かんぜんれつ）とは、環上の加群や群などの系列で各射の像空間が次の射の核空間と正確に合致するものをいう。

定義

R 加群 X_i と写像 f_i: X_i → X_i+1 (i ∈ Z) からなる（有限または無限）系列

\cdots \to X_{n-1}{\stackrel {f_{n-1}}{{}\longrightarrow {}}}X_{n}{\stackrel {f_{n}}{{}\longrightarrow {}}}X_{n+1}\to \cdots

において、 ${\rm {Im\,}}f_{n-1}={\rm {Ker}}\,f_{n}$ となるとき、系列は X_n において完全（exact）であるという。特に、次の事実が成り立つ^[1]：

系列 $0\xrightarrow {} M'\xrightarrow {f} M$ が完全であることは、 $f$ が単射であることと同値。
系列 $M\xrightarrow {g} M''\xrightarrow {} 0$ が完全であることは、 $g$ が全射であることと同値。
系列 $0\xrightarrow {} M'\xrightarrow {f} M\xrightarrow {g} M''\xrightarrow {} 0$ が完全であることは、 $f$ が単射かつ $g$ が全射であり、さらに $g$ が同型 $M/f(M')\xrightarrow {\simeq } M''$ を誘導することと同値。

系列がすべての R 加群 X_i において完全であるとき、その系列を完全系列（exact sequence）と呼び、

\cdots \to X_{n-1}{\stackrel {f_{n-1}}{{}\longrightarrow {}}}X_{n}{\stackrel {f_{n}}{{}\longrightarrow {}}}X_{n+1}\to \cdots \quad {\text{(exact)}}

などと表記する。なお、系列が X_n において完全であるならば、その定義から明らかに

f_{n}\circ f_{n-1}(x)=0_{n+1}\;\;\forall \,x\in X_{n-1}

（ただし、

0_{n+1}

は

X_{n+1}

の零元）

が成り立つ（逆は一般に成り立たない）。

例

例えば、アーベル群の系列

0\hookrightarrow \mathbb {Z} {\stackrel {f}{{}\hookrightarrow {}}}\mathbb {Z} {\stackrel {p}{{}\twoheadrightarrow {}}}\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \twoheadrightarrow 0

で、f: Z → Z が 2 倍写像 (x → 2x), p を標準射影とすると、これは完全である。実際、2x = 0 となる x は 0 であり、かつ 0 に限られる（f は単射である）ので 0 → Z は完全である。また、f, p はアーベル群の準同型で、im(f) = 2Z = ker(p) であることは明らかである。最後に Z/2Z → 0 は Z/2Z の全ての元を 0 とする準同型で、その核は Z/2Z 全体となるが、p は全射であるからこれも完全である。