函数解析学および関連する数学の分野において、弱位相(じゃくいそう、英: weak topology)とは、粗(英語版)極位相、すなわち、ある双対組上の最小の開集合を伴う位相のことを言う。最も細かい(finest)極位相は、強位相と呼ばれる。
弱位相の下で、有界集合は相対コンパクト集合と一致する。この事実より重要なブルバキ=アラオグルの定理が導かれる。
双対組
が与えられたとき、弱位相
は
上の最も弱い極位相である。したがって
![{\displaystyle (X,\sigma (X,Y))'\simeq Y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/176d9516bcac6ee1fd0799fcbd0e8e3dfa1d3aec)
が成り立つ。すなわち、
の連続双対は、同型を除いて
と等しい。
弱位相は次のように構成される:
内のすべての
に対し、
上の半ノルム
![{\displaystyle p_{y}:X\to \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12ec6e2d16f988c31b0713e68c2691658fbc51b3)
を、次のように定める:
![{\displaystyle p_{y}(x):=\vert \langle x,y\rangle \vert \qquad x\in X.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1596271ecbc299090137353ba1c884770b266830)
この半ノルムの族は、
上の局所凸位相を定義する。
- ノルム線型空間
とその連続双対
が与えられたとき、
は
上の弱位相と呼ばれ、
は
上の弱スター位相(英語版)と呼ばれる。