忠実表現

数学、特に表現論という抽象代数学の一分野において、群 $G$ のベクトル空間 $V$ 上における忠実表現（ちゅうじつひょうげん、英: faithful representation） $ρ$ とは、 $G$ の異なる元 $g$ が $GL (V)$ の異なる線型写像 $ρ (g)$ に対応する線型表現のことである。

より抽象的な言葉では、これは群準同型

ρ : G \to GL (V)

が単射であることを意味する。あるいは核 $Ker(ρ)$ が自明であると言い換えることもできる。

たとえば正則表現は忠実表現のひとつである。

注意： $G$ の体 $K$ 上の表現は事実上 $K [G]$ 加群と同じである（ $K [G]$ は群 $G$ の群環を表す）が、 $G$ の忠実表現が群環の忠実加群であるとは限らない。実は任意の忠実 $K [G]$ 加群は $G$ の忠実表現であるが、逆は成り立たない。例えば対称群 $S n$ の置換行列による $n$ 次元の自然表現を考えると、これは確かに忠実であるが、群の位数は $n!$ である一方 $n \times n$ 行列の全体は $n 2$ 次元のベクトル空間をなすので、 $n$ が $4$ 以上であれば、次元勘定により（ $24 > 16$ だから）置換行列の間に線型独立性が生じなければならず、したがって群環上の加群は忠実ではない。

性質

有限群 $G$ の標数 $0$ の代数閉体 $K$ 上の表現 $V$ が（表現として）忠実であることと $G$ の任意の既約表現が十分大きい $n$ に対して $S n V$ （表現 $V$ の $n$ 次対称冪）の部分表現として生じることは同値である。また、 $V$ が（表現として）忠実であることと $G$ の任意の既約表現が十分大きい $n$ に対して

V^{\otimes n}=\underbrace {V\otimes V\otimes \cdots \otimes V} _{n{\text{ times}}}

（表現 $V$ の $n$ 次テンソル冪）の部分表現として生じることは同値である^[要出典]。

参考文献

Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), “faithful representation”, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4

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