時不変系

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時不変系（じふへんけい、英語: time-invariant system）は、その出力が時間に明示的に依存していない系である。入力信号 ${\displaystyle x}$ によって出力 ${\displaystyle y}$ が生成されるとき、時間をシフトさせた入力 ${\displaystyle t\mapsto x(t+\delta )}$ では出力も ${\displaystyle t\mapsto y(t+\delta )}$ となり、同じだけ時間をシフトしたものとなる。

形式的には、${\displaystyle S}$ をシフト作用素としたとき（${\displaystyle S_{\delta }x(t)=x(t-\delta )}$）、次が成り立つ ${\displaystyle T}$ を時不変作用素と呼ぶ。

${\displaystyle T(S_{\delta }x)=S_{\delta }(Tx)}$

この属性は、系の伝達関数が時間の関数ではなく、入力と出力だけで表される場合に満足される。また、概略的に表すと次のようになる。

系が時不変であるとき、その系のブロックは任意の遅延について可換である。

系が時不変かどうかを判定する例を示すため、次の2つの系を考える。

• 系 A: ${\displaystyle y(t)=t\cdot x(t)}$
• 系 B: ${\displaystyle y(t)=10\cdot x(t)}$

系 A は ${\displaystyle x(t)}$ と ${\displaystyle y(t)}$ 以外の部分で明示的に t に依存しているので、時変である。一方系 B は明示的に t に依存していないので、時不変である。

次に A と B の系がなぜ上述のように言えるのかを、形式的な証明によって示す。証明するために、第二の定義（系が時不変であるとき、その系のブロックは任意の遅延について可換である）を利用する。

系 A:

遅延のある入力 ${\displaystyle x_{d}(t)=\,\!x(t+\delta )}$ を与えると、次のようになる。

${\displaystyle y_{1}(t)=t\,x_{d}(t)=t\,x(t+\delta )}$

ここで出力を ${\displaystyle \delta }$ のぶんだけ遅延させる。

${\displaystyle y(t)=t\,x(t)}$

${\displaystyle y_{2}(t)=\,\!y(t+\delta )=(t+\delta )x(t+\delta )}$

${\displaystyle y_{1}(t)\,\!\neq y_{2}(t)}$ であることは明らかであり、従ってこの系は時不変ではない。

系 B:

遅延のある入力 ${\displaystyle x_{d}(t)=\,\!x(t+\delta )}$ を与えると、次のようになる。

${\displaystyle y_{1}(t)=10\,x_{d}(t)=10\,x(t+\delta )}$

ここで出力を ${\displaystyle \delta }$ のぶんだけ遅延させる。

${\displaystyle y(t)=10\,x(t)}$

${\displaystyle y_{2}(t)=y(t+\delta )=10\,x(t+\delta )}$

${\displaystyle y_{1}(t)=\,\!y_{2}(t)}$ であることは明らかであり、従ってこの系は時不変である。他にも証明方法はあるが、これが最も容易である。

シフト作用素を ${\displaystyle \mathbb {T} _{r}}$ と表す。ここで、${\displaystyle r}$ はベクトルの添え字群がシフトされるべき量である。例えば、"advance-by-1" 系

${\displaystyle x(t+1)=\,\!\delta (t+1)*x(t)}$

は、ここでの抽象的記法では次のようになる。

${\displaystyle {\tilde {x}}_{1}=\mathbb {T} _{1}\,{\tilde {x}}}$

ここで、${\displaystyle {\tilde {x}}}$ は次の式で与えられる関数である。

${\displaystyle \forall t\in \mathbb {R} \ {\tilde {x}}=x(t)}$

シフトされた出力となる系は次のようになる。

${\displaystyle \forall t\in \mathbb {R} \ {\tilde {x}}_{1}=x(t+1)}$

従って ${\displaystyle \mathbb {T} _{1}}$ は入力ベクトルを 1 だけ進める作用素である。

ここで、系を作用素 ${\displaystyle \mathbb {H} }$ で表す。この系が時不変であるのは、この作用素とシフト作用素の間で交換法則が成り立つ場合である。すなわち、

${\displaystyle \forall r\ \mathbb {T} _{r}\,\mathbb {H} =\mathbb {H} \,\mathbb {T} _{r}}$

系の方程式が次のようであるとする。

${\displaystyle {\tilde {y}}=\mathbb {H} \,{\tilde {x}}}$

この系が時不変であるとは、系の作用素 ${\displaystyle \mathbb {H} }$ を ${\displaystyle {\tilde {x}}}$ に適用してからシフト作用素 ${\displaystyle \mathbb {T} _{r}}$ を適用した場合と、シフト作用素 ${\displaystyle \mathbb {T} _{r}}$ を適用してから系の作用素 ${\displaystyle \mathbb {H} }$ を適用した場合で、結果が等価となる場合である。

系の作用素を先に適用すると、次のようになる。

${\displaystyle \mathbb {T} _{r}\,\mathbb {H} \,{\tilde {x}}=\mathbb {T} _{r}\,{\tilde {y}}={\tilde {y}}_{r}}$

シフト作用素を先に適用すると、次のようになる。

${\displaystyle \mathbb {H} \,\mathbb {T} _{r}\,{\tilde {x}}=\mathbb {H} \,{\tilde {x}}_{r}}$

従って、系が時不変なら次が成り立つ。

${\displaystyle \mathbb {H} \,{\tilde {x}}_{r}={\tilde {y}}_{r}}$

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