正則凸包

数学の複素解析の分野において、n-次元複素空間 Cⁿ 内のある与えられたコンパクト集合に対する正則凸包（せいそくとつほう、英: holomorphically convex hull）は、次のように定義される。

${\displaystyle G\subset {\mathbb {C} }^{n}}$ をある領域（すなわち、連結開集合）あるいはより一般に、${\displaystyle n}$-次元複素多様体とする。${\displaystyle {\mathcal {O}}(G)}$ を、${\displaystyle G}$ 上の正則函数の集合とする。あるコンパクト集合 ${\displaystyle K\subset G}$ の正則凸包は、次で定義される。

${\displaystyle {\hat {K}}_{G}:=\{z\in G{\big |}\left|f(z)\right|\leq \sup _{w\in K}\left|f(w)\right|{\mbox{ for all }}f\in {\mathcal {O}}(G)\}.}$

この定義において f を多項式とすることで、より特殊な概念である多項式凸包（polynomial convex hull）が得られる。

${\displaystyle G}$ 内でコンパクトなすべての ${\displaystyle K\subset G}$ に対して ${\displaystyle {\hat {K}}_{G}}$ も ${\displaystyle G}$ 内でコンパクトであるなら、そのような領域 ${\displaystyle G}$ は正則凸（holomorphically convex）であると言われる。これはしばしば holomorph-convex と略記される。

${\displaystyle n=1}$ のとき、${\displaystyle {\hat {K}}_{G}}$ は ${\displaystyle G\setminus K\subset G}$ の相対コンパクトな成分と ${\displaystyle K}$ との合併であるため、任意の領域 ${\displaystyle G}$ は正則凸である。またこのとき、領域が正則凸であることは、それが正則領域であることと同値であることに注意されたい（カルタン＝トゥレンの定理）。これらの概念は、多変数複素函数の n > 1 の場合にはさらに重要となる。

• シュタイン多様体
• 擬凸性

• Lars Hörmander. An Introduction to Complex Analysis in Several Variables, North-Holland Publishing Company, New York, New York, 1973.
• Steven G. Krantz. Function Theory of Several Complex Variables, AMS Chelsea Publishing, Providence, Rhode Island, 1992.

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