無限遠直線

無限遠直線（むげんえんちょくせん、Line at infinity）は、幾何学または位相幾何学における実アフィン平面（英語版）に付加される直線である。位相幾何学に閉包性を与え、射影平面の接続関係（英語版）の性質の特殊な場合を例外なく取り扱うために使われる。無限遠線、無窮遠直線、無窮遠線、無窮線、あるいは理想線（ideal line^[1]）とも言われる^[2]^[3]^[4]^[5]^[6]。ポンスレなどによって研究された^[7]。

幾何学的構築

アフィン幾何学やユークリッド幾何学においては平行線は交わらないとされるが、射影幾何学においては、2つの直線は実平面で常に交わる。特に平行線は無限遠点で交わる。すべての無限遠点が存在する直線を無限遠直線という^[8]。

任意の直線は無限遠直線と交わる。交点は直線の傾きのみに依存する。

アフィン平面において、直線は2方向に延びている。射影平面ではこの2方向の無限遠点は同一である。故に射影平面上の直線は閉曲線である。無限遠直線もまた自身と交叉するため閉曲線である。

位相幾何学的観点

無限遠直線はアフィン平面を囲う円とみなすこともできる。しかし円上の点の対蹠点は自身と一致する。アフィン平面と無限遠直線は実射影平面（英語版） $\mathbb {R} P^{2}$ を成す。

双曲線は2つの漸近線方向の無限遠点で自身と交わり、閉曲線とみなせる^[9]。同様に放物線も軸方向の無限遠点で自己交叉し、閉曲線とみなすことができる。放物線と無限遠直線は接する^[10]。

複素射影平面上の無限遠直線の類似物は、複素射影直線である。2次元複素数空間上にリーマン球面を付加し4次元コンパクト空間を成すという点で、位相幾何学的には無限遠直線と全く異なる。実射影平面とは異なり、この結果は向き付け可能である。

歴史

複素無限遠直線は19世紀幾何学でよく使われた。円を無限遠直線上のある二点（虚円点）を通る円錐曲線として扱うことに応用された。

方程式X² + Y² = 0は、円の方程式から低次の項を除いたものである。通常、射影幾何学においては同次座標系（英語版）[X:Y:Z]が採択される。

無限遠直線は、Z = 0の場合である^[11]^[12]。つまり、低次の項をすべて除外した式を表す。

すべての円は無限遠直線上の虚円点を通る^[13]。

I = [1:i:0] , J = [1:−i:0].

これらは当然複素点で、任意の同次座標に存在する。ただし、射影直線は対称変換群（英語版）を持つため、これは特別ではない。結論としては、円を5点で決定される円錐曲線（英語版）としてみなすことができるということである。

初等幾何学

三角形幾何学（ドイツ語版）では、無限遠直線は様々な特徴づけが成される。三角形の三辺を $a,b,c$ として、無限遠直線は三線座標 $(p, q, r)$ では $a p + b q + c r = 0$ 、重心座標 $(p, q, r)$ では $p + q + r = 0$ と表される^[1]^[14]。重心の三線極線としても定義できる^[15]。外接円とシュタイナー楕円はそれぞれ等角共役、等長共役で無限遠直線に移る。一般に外接円錐曲線の自身による平行弦共役は無限遠直線に移る^[16]。

円による反転によって、無限遠直線は、基準円の中心に映る。また、円の中心の極線は無限遠直線である。

出典

^ ^a ^b Weisstein. “Line at Infinity” (英語). mathworld.wolfram.com. Wolfram Research. 28 December 2016閲覧。
^ 渡辺義勝『図表及ビ図計算』弘道館、1938年、143-145頁。NDLJP:1875780。
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^ ウジェーヌ・ルーシェ,シャルル・ド・コンブルース著、小倉金之助訳『初等幾何學第2卷空間之部』山海堂、1915年、62,319,459頁。doi:10.11501/1082037。
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^ 中川銓吉『近世綜合幾何学演習』共立出版、1948年、159頁。NDLJP:1063414。
^ 高木貞治『輓近高等数学講座第2巻』共立社、1933年、153頁。NDLJP:1078175。
^ 『無限遠直線』 - コトバンク
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^ リヒター-ゲバート, J.、コルテンカンプ, U. H.『シンデレラ: 幾何学のためのグラフィックス』Springer Science & Business Media、2003年11月26日。ISBN 978-4-431-70966-4。
^ 一松, 信編『重心座標による幾何学』（初版）現代数学社、京都市、2014年、20頁。ISBN 978-4-7687-0437-0。
^ Weisstein. “Trilinear Pole”. MathWorld—A Wolfram Web Resource.. 2024年8月28日閲覧。
^ 齋藤輝. “等角共役とシムソン線の幾何学”. 角川ドワンゴ学園 N/S 高等学校研究部. 2024年8月28日閲覧。

[:0-1] Weisstein. “Line at Infinity” (英語). mathworld.wolfram.com. Wolfram Research. 28 December 2016閲覧。

[2] 渡辺義勝『図表及ビ図計算』弘道館、1938年、143-145頁。NDLJP:1875780。

[3] 米山国蔵『数学之基礎上』積善館、1925年、145頁。NDLJP:925124。

[4] ウジェーヌ・ルーシェ,シャルル・ド・コンブルース著、小倉金之助訳『初等幾何學第2卷空間之部』山海堂、1915年、62,319,459頁。doi:10.11501/1082037。

[5] ウヰルソン著、林田雷次郎訳『幾何学』大平俊章等、1887年、77頁。NDLJP:828420。

[6] 中川銓吉『近世綜合幾何学演習』共立出版、1948年、159頁。NDLJP:1063414。

[7] 高木貞治『輓近高等数学講座第2巻』共立社、1933年、153頁。NDLJP:1078175。

[8] 『無限遠直線』 - コトバンク

[9] “学問入門講座”. 青山学院大学理工学部物理・数理学科. 2024年8月28日閲覧。

[10] 窪田忠彦『近世幾何学』岩波書店、1947年、53,99頁。doi:10.11501/1063410。

[11] “射影平面と双対性”. 2024年8月28日閲覧。

[12] 森本清吾『座標幾何学 (共立全書 ; 第40)』共立出版、1952年、75,77,81,89,111頁。doi:10.11501/1372006。

[13] リヒター-ゲバート, J.、コルテンカンプ, U. H.『シンデレラ: 幾何学のためのグラフィックス』Springer Science & Business Media、2003年11月26日。ISBN 978-4-431-70966-4。

[14] 一松, 信編『重心座標による幾何学』（初版）現代数学社、京都市、2014年、20頁。ISBN 978-4-7687-0437-0。

[15] Weisstein. “Trilinear Pole”. MathWorld—A Wolfram Web Resource.. 2024年8月28日閲覧。

[16] 齋藤輝. “等角共役とシムソン線の幾何学”. 角川ドワンゴ学園 N/S 高等学校研究部. 2024年8月28日閲覧。

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関連項目

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