自由場

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場の量子論
(ファインマン・ダイアグラム)
歴史
背景 量子力学 場の理論 ゲージ理論 ヤン＝ミルズ理論 自発的対称性の破れ ポアンカレ群 対称性 荷電共役対称性 交叉対称性（英語版） パリティ 時間反転対称性（T対称性） 方法 量子異常（アノマリー） 有効場の理論 真空期待値 ファデエフ＝ポポフゴースト ファインマン・ダイアグラム 格子ゲージ理論 LSZ簡約公式 分配関数 伝播関数 量子化 繰り込み 真空状態 ウィックの定理 ワイトマンの公理系 方程式 ディラック方程式 クライン–ゴルドン方程式 プロカ方程式 ホイーラー・ドウィット方程式 標準模型 量子電磁力学 量子色力学 ワインバーグ＝サラム理論 ヒッグス機構 未完成理論 量子重力理論 弦理論 超対称性 テクニカラー（英語版） 万物の理論 科学者 アドラー（英語版） • ベーテ • ボゴリューボフ • カラン（英語版） • キャンドリン（英語版） • コールマン • ドウィット • ディラック • ダイソン • フェルミ • ファインマン • フィールツ（英語版） • フレーリッヒ（英語版） • ゲルマン • ゴールドストーン • グロス • トホーフト • ジャッキーヴ（英語版） • クライン • ランダウ • 李政道 • レーマン • マヨラナ • 南部 • パリージ • ポリャコフ • アブドゥッサラーム • シュウィンガー • スキルム • シュテュッケルベルク • シマンチク（英語版） • 朝永 • フェルトマン • ワインバーグ • ワイスコフ • ウィルソン • ウィルチェック • ウィッテン • 楊振寧 • 湯川 • ジマーマン（英語版）
表 話 編 歴

物理学では、自由場とは、相互作用のない場のことを言い、運動項と質量項により記述される。

古典物理学では、自由場(free field)は、場の運動方程式が線型偏微分方程式(PDE)によって与えられる場合を言う。そのような線型偏微分方程式は、初期条件を与えられると一意的な解をもつ。

場の量子論では、作用素に値を持つ超函数(operator valued distribution)が自由場であるということは、同じ古典場（つまり作用素ではない）に対応する同じ線型偏微分方程式の場合があり、二次多項式のラグラジアンについてのオイラー＝ラグランジュ方程式となっている線型PDEを満たすような場のことを言う。この超函数の微分を、テスト函数の微分と定義することが可能である。詳細はシュワルツ超函数を参照。通常の超函数を扱うのではなく、作用素に値を持つ超函数を扱うので、これらの線型PDEは、状態により拘束されているのではなく、代わりに乱された場の間の関係式により記述されている。線型PDEとは別に、作用素も、交換/反交換関係式を満たす。

基本的に、相互作用のある場の交換関係はボゾンに対して、反交換関係はフェルミオンに対して与えられ、双方のテスト函数の上を渡る PDE の（実際は函数ではなく、超函数の）場のペイエールのブラケット（英語版）(Peierls bracket)の i 倍である。これはCCR/CAR代数（英語版）(CCR/CAR algebra)の形を持っている。

無限自由度を持つ CCR/CAR 代数は、多くの非同値な既約なユニタリ表現を持っている。理論をミンコフスキー空間上で定義しようとすると、いつも必要なわけではないが、真空状態を持っているユニタリな既約表現を選ぶ必要がある。

φ を作用素に値を持つ超函数とし、（クライン・ゴルドン）偏微分方程式を

${\displaystyle \partial ^{\mu }\partial _{\mu }\phi +m^{2}\phi =0}$.

とする。これはボゾン場である。この超函数をペイエールのブラケット(Peierls bracket) Δ により与えられた超函数と言う。すると、

${\displaystyle \{\phi (x),\phi (y)\}=\Delta (x;y)}$

となる。ここに、φ は古典場で {,}（コンマ）ペイエールのブラケットである。

すると、正準交換関係 (CCR) は、

${\displaystyle [\phi [f],\phi [g]]=i\Delta [f,g]\,}$.

である。Δ が 2つの引数を持つ超函数であるので、乱されることがある。

同じことであるが、次の式も強調しておく。

${\displaystyle {\mathcal {T}}\{[((\partial ^{\mu }\partial _{\mu }+m^{2})\phi )[f],\phi [g]]\}=-i\int d^{d}xf(x)g(x)}$

ここに ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ は時間順序積作用素で、f と g のサポートは空間的に(spacelike)に分離されていると

${\displaystyle [\phi [f],\phi [g]]=0}$

となる。

• 正規順序積
• ウィックの定理

• Michael E. Peskin and Daniel V. Schroeder, An Introduction to Quantum Field Theory, Addison-Wesley, Reading, 1995. p19-p29